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Sonntag, 6. November 2016

Eichkatze, Kuhhase, Otter und Mutz


Deutsch

Auf ei­ner siebenstündigen Zugfahrt kam seit Langem einmal wieder das Bedürfnis über mich, etwas zu reimen. Daher kann es diesen Mo­nat auch ein Mo­nats­gedicht ge­ben:

Eichkatze, Kuhhase, Otter und Mutz
Hüpfen, hoppeln, kriechen, rammeln
Durch Wald und Hain,
Über Feld und Rain,
Quieksen, mucken, zischen, grunz’
Vergnügt, denn zusammen sammeln
Sie Kastanien und Kusteln ein.
(Nüsse und Eckern
Sind auch ziemlich lecker ’n’
Einfach zu suchen
Sind Haseln und Buchen.)
Dann zu später Abendstunde
Sitzen in gemütlicher Runde
Die vier über ihren Funden zusämmen –
Schnurpsen, mümmeln, ……, schlemmen –
Und der Mutz fragt die Otter:
„Warum Du nichts frisst?“
Die schielt zum Hasen
Und der Hase nur: „Mist.“

Anmerkung: An der Stel­le, wo …… steht, soll beim Vorle­sen mh-mh ge­spro­chen wer­den.

Montag, 24. Oktober 2016

Ja, ich lebe noch!


Deutsch

In letzter Zeit hatte ich nur einfach keine Lust, etwas für diesen Blog zu schreiben. Kommt vor.

Lest doch, bis es weitergeht, ein paar ältere Beiträge von mir. Zum Beispiel: Oder spielt ein Spiel: Oder löst ein paar Rätsel: Oder stöbert halt einfach so ein bisschen rum.

Bis denne!

Montag, 3. Oktober 2016

Paradoxa: I


Deutsch

Heute drei Paradoxa mit I.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Um diese Regel zu befolgen, muss man sie ignorieren. Doch wenn man sie ignoriert, dann kann man sie nicht befolgen.

Analyse

Der logische Widerspruch erinnert an das Barbier-Paradoxon . Es ist nicht möglich, ihn zu beseitigen. – Auch nicht mit mit dem wohlbekannten Keine Regel ohne Ausnahme! bzw. Jede Regel hat eine Ausnahme! Denn:

  1. Jede Regel hat eine Ausnahme! ⇒
  2. Jede Regel hat eine Ausnahme! hat eine Ausnahme! ⇒
  3. Es gibt eine Regel ohne Ausnahme.
1. und 3. stehen im Widerspruch zueinander. Folglich ist die Aussage Jede Regel hat eine Ausnahme! falsch und keine Regel hat eine Ausnahme. Das Paradoxon bleibt bestehen.

Aussage

Ein Paradoxon aus dem Alltag: Man möchte mit dem Bus zur Arbeits- oder Ausbildungsstätte fahren und da die Busse alle 10 Minuten fahren, geht man einfach ohne auf die Uhr zu schauen zur Haltestelle. Auch, wenn mal ein Bus Verfrühung oder Verspätung hat, so kommt doch im Durchschnitt alle 10 Minuten ein Bus und die durchschnittliche Wartezeit sollte somit auch nur 10/2 = 5 Minuten betragen. Tatsächlich wartet man aber meistens länger!

Analyse

Betrachten wir für die mathematische Analyse nur ein halboffenes 20-Minuten-Intervall, in dem zwei Busse ankommen (planmäßig nach 10 und nach 20 Minuten). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit hat der erste Bus Verspätung und kommt nach (10 + t) Minuten, wobei t > 0. Der zweite Bus kommt wieder pünktlich nach 20 Minuten. Wenn man jetzt an einem beliebigen Zeitpunkt zur Haltestelle geht, d. h. die Haltestelle inspiziert, kommt man mit einer Wahrscheinlichkeit von (10 + t)/20 vor dem ersten Bus und mit einer Wahrscheinlichkeit von (10 - t)/20 nach dem ersten Bus an. Kommt man irgendwann vor dem ersten Bus an, muss man im Durchschnitt (10 + t)/2 Minuten warten, andernfalls (10 - t)/2 Minuten. Somit beträgt die erwartete Wartezeit für jemanden, der irgendwann im 20-Minuten-Intervall an die Haltestelle kommt, [(10 + t)/20 · (10 + t)/2] + [(10 - t)/20 · (10 - t)/2] = 5 + t2/20 Minuten. Da t > 0, ist auch die Wartezeit größer als 0. Kommt bspw. der erste Bus mit t = 5 Minuten Verspätung, so beträgt die erwartete Wartezeit 6:15 Minuten.

Aussage

Eine natürliche Zahl sei interessant, wenn sie eine besondere Eigenschaft besitzt. Zum Beispiel ist die 2 eine interessante Zahl, weil sie die einzige gerade Primzahl ist. Demzufolge sei eine Zahl uninteressant, wenn sie keine besondere Eigenschaft besitzt. Man kann nun beweisen, dass es keine uninteressanten Zahlen gibt:

Angenommen, es gäbe eine nichtleere Menge uninteressanter natürlicher Zahlen. Dann gibt es unter ihnen eine kleinste. Allein diese Eigenschaft macht sie jedoch zu einer interessanten Zahl, was im Widerspruch zu ihrer Uninteressantheit steht.

Analyse

Das Paradoxon entsteht aufgrund der Vagheit von besondere Eigenschaft. Wenn man klar definiert, was damit gemeint ist, dann gibt es natürlich uninteressante Zahlen, sofern man Minimalität nicht als besondere Eigenschaft wertet. Andernfalls kann man natürlich zu jeder Zahl irgendetwas Besonderes finden:

1: neutrales Element der Multiplikation
2: kleinste gerade Primzahl
3: Anzahl der Raumdimensionen, in denen wir leben
4: Anzahl der Farben, die ausreicht, um eine beliebige ebene Landkarte zu färben
5: Anzahl platonischer Körper
6: kleinste perfekte Zahl
7: kleinste Eckenzahl eines regelmäßigen Polygons, das nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
8: größte Kubikzahl in der Fibonacci-Folge
9: Anzahl von Kubikzahlen, die maximal nötig ist, um sie zu einer beliebigen natürlichen Zahl aufsummieren zu können
...
Quelle: What's Special About This Number?


Montag, 26. September 2016

Paradoxa: H


Deutsch

Für die neuen Leser: Dieser Beitrag ist Teil der Paradoxa-Reihe. Jeden Montag stelle ich in alphabetischer Reihenfolge drei Paradoxa vor. Wer sich das bis nächste Woche nicht merken kann oder auch automatisch über andere Beiträge informiert werden möchte, kann gerne meinen Blog per E-Mail abonnieren. Dazu einfach am rechten Rand im Feld E-Mail folgen eine E-Mail-Adresse eingeben und bestätigen. Allerdings lohnt es sich immer, den Beitrag dann auf dieser Seite zu lesen; manchmal werden in der automatisch erzeugten E-Mail-Version Sachen schlecht formatiert.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Die folgenden beiden Aussagen werden wohl von allen akzeptiert:

  1. (1) 10.000 Sandkörner sind ein Haufen.
  2. (2) Wenn n Sandkörner ein Haufen sind, dann sind auch (n-1) Sandkörner ein Haufen.
Aus ihnen folgt jedoch, dass 0 Sandkörner ein Haufen sind, denn:
  1. (1) ⇒ 10.000 Sandkörner sind ein Haufen.
  2. (2) ⇒ 9.999 Sandkörner sind ein Haufen.
  3. (2) ⇒ 9.998 Sandkörner sind ein Haufen.
  4.  ⋮
  5. (2) ⇒ 2 Sandkörner sind ein Haufen.
  6. (2) ⇒ 1 Sandkorn ist ein Haufen.
  7. (2) ⇒ 0 Sandkörner sind ein Haufen.
Und dass 0 Sandkörner ein Haufen sind, wird wohl nicht von allen akzeptiert.
Für 10.000 kann man natürlich auch jede andere Zahl einsetzen, von der man meint, dass so viele Sandkörner auf alle Fälle ein Haufen sind. Durch die wiederholte Anwendung von Schritt (2) kommt man immer zum gleichen Ergebnis. Wer meint, dass Schritt (2) falsch ist und es eine Zahl m gibt, für die gilt, dass m Sandkörner ein Haufen sind, (m-1) Sandkörner jedoch nicht, der kann mir diese Zahl gern mitteilen.

Analyse

Das Problem ist, dass Haufen kein genau definierter Begriff ist, sondern einfach nur eine große Menge von etwas beschreibt. Man kann trotzdem versuchen, das Paradoxon aufzulösen:

  • Man könnte einen Haufen als eine Ansammlung von Objekten gleichen Typs wie eine Liste, einen Stapel oder eine Warteschlange in der Informatik betrachten: Ein Stapel Bücher ist ein Stapel, egal, wie viele Bücher auf ihm liegen. Ein Stapel kann leer sein oder auch nur ein Buch enthalten. Diese Betrachtungsweise entspricht aber nicht der umgangssprachlichen Verwendung dieser Begriffe.
  • Man könnte eine Grauzone einführen, in der die Anzahlen liegen, bei denen man nicht genau sagen kann, ob es sich bei einer Ansammlung von Sandkörnern in diesem Zahlenbereich um einen Haufen handelt oder nicht. Allerdings kann man die Abgrenzung zwischen den Zahlenbereichen für Haufen, Haufen oder kein Haufen und kein Haufen genau so schlecht festlegen wie die Abgrenzung zwischen den Zahlenbereichen für Haufen und kein Haufen ohne Grauzone.
  • Man könnte generell sagen, dass man nicht genau festlegen kann, ob eine Ansammlung von Sandkörnern ein Haufen sind oder nicht, sondern, dass man nur gradieren kann und immer eine Vergleichzahl braucht: So wäre eine Ansammlung von 500 Körnern weniger Haufen als eine Ansammlung von 800 Körnern und eine Ansammlung von 10 Körnern wäre mehr Haufen als eine Ansammlung von 0 Körnern.
Keine dieser Auflösungen ist wirklich zufriedenstellend. Also bleibt uns vorerst wohl nichts anderes übrig, als die Vagheit der Sprache hinzunehmen. Das Paradoxon tritt allerdings nicht nur in der Sprachphilosophie auf, sondern auch in der Verhaltensforschung oder im Tierreich. Im Folgenden möchte ich daher noch vom Frosch im kochenden Wasser erzählen.
  1. (1) Ein Frosch in 20 °C warmem Wasser fühlt sich wohl.
  2. (2) Wenn sich ein Frosch in n °C warmem Wasser wohlfühlt, dann fühlt er sich auch in (n+0,01) °C warmem Wasser wohl (weil ein Frosch einen Temperaturunterschied von 0,01 °C gar nicht wahrnehmen kann).
Folglich würde ein Frosch, den man in 20 °C warmes Wasser setzt, welches man sehr langsam erwärmt, nicht aus dem Wasser herausspringen und schlussendlich verbrühen. Ehe sich jetzt jemand einen Frosch fängt und das zu Hause ausprobieren möchte: Das haben schon Leute gemacht. Während ältere Studien behaupten, dass man das Wasser nur langsam genug erhitzen müsse, damit der Frosch verbrüht, sagen neuere, dass ein Frosch in jedem Fall herausspränge, wenn er die Möglichkeit dazu habe.

Aussage

Es existiert ein Teilstück D der Kugel S, so dass S\D (S ohne D) in zwei Teile zerlegt werden kann, die beide äquivalent zu S\D sind.
Dieses Paradoxon bildet die Grundlage für das Banach-Tarski-Paradoxon:
Man kann eine Kugel so in endlich viele Teile zerlegen, dass man aus diesen Teilen zwei Kugeln zusammensetzen kann, die beide äquivalent zur Originalkugel sind.
Wie das genau funktionieren soll, erklärt Michael Stevens sehr anschaulich in seinem Video The Banach–Tarski Paradox. Wir wollen uns hier nicht weiter mit dem Beweis beschäftigen.

Analyse

Das Banach-Tarski-Paradoxon behauptet, man könne eine Kugel geschickt so zerlegen und wieder zusammensetzen, dass man hinterher zwei Kugeln hat, die genau so groß sind wie das Original.
In der mathematischen Theorie funktioniert das, weil man davon ausgehen kann, dass eine Kugel aus unendlich vielen Punkten besteht. In der physikalischen Praxis sieht das (nach dem heutigen Kenntnisstand) aber anders aus: Eine Kugel in der realen Welt besteht nur aus einer endlichen Anzahl von Teilchen und diese kann man nicht so aufteilen, dass man aus den Teilen zwei Kugeln der Größe des Originals zusammensetzen kann.
Um die Bedeutung des Unterschieds zwischen Unendlichkeit und Endlichkeit besser nachvollziehen zu können, stellen wir uns eine Warteschlange vor, in der unendlich viele Menschen stehen. Es ist nun möglich, diese Menschen in zwei Warteschlangen unterzubringen, die beide genauso lang sind, wie die ursprüngliche Warteschlange. Dazu nehmen wir einfach jeden zweiten Wartenden und reihen ihn in eine zweite Warteschlange ein. Stellen wir uns jedoch eine Warteschlange vor, in der nur endlich viele Menschen stehen, so ist es nicht möglich, diese Menschen in zwei Warteschlangen unterzubringen, die beide genauso lang sind wie die ursprüngliche Warteschlange.

, Banach–Tarski paradox

Aussage

Ein Häftling sitzt im Todesblock. Man hat ihm gesagt, dass er im Laufe der kommenden Woche an einem für ihn unerwarteten Tag hingerichtet wird. Hinrichtungen sind immer Mittags. Nun denkt er sich: Wenn ich nach Sonnabendmittag noch lebe, dann muss ich am Sonntag hingerichtet werden. Das wäre dann aber nicht unerwartet. Also kann ich nicht am Sonntag hingerichtet werden. Wenn ich nach Freitagmittag noch lebe, dann muss ich am Sonnabend oder Sonntag hingerichtet werden. Da ich den Sonntag bereits ausgeschlossen habe, muss ich am Sonnabend hingerichtet werden. Das wäre dann aber nicht unerwartet. Und so weiter ... Erfreut kommt der Häftling zu dem Schluss, dass er jeden Tag ausschließen kann und somit gar keine Hinrichtung für ihn angesetzt ist. Und so kommt es sehr unerwartet für den Häftling, als man ihn an einem der Tage aus seiner Zelle holt und hinrichtet.

Eine weniger brutale Version ist die Lehrerin, die der Klasse einen Überraschungstest für die nächste Woche ankündigt.

Analyse

Die Logik des Gefangenen enthält offensichtlich einen Fehler. Diesen kann man an mehreren Stellen finden:

  1. Zu Recht kann der Häftling den Sonntag ausschließen, wenn er davon ausgeht, dass man ihm die Wahrheit gesagt hat. Am Sonnabend kann er dann jedoch nicht wissen, ob man ihm die Wahrheit gesagt hat und er am Sonnabend hingerichtet wird oder ob man ihn belogen hat und er am Sonntag hingerichtet wird. Somit kann er auch am Sonnabend (oder an einem beliebigen Tag davor) unerwartet hingerichtet werden.
  2. Die beiden Annahmen des Häftlings, 1. dass er am Sonntag hingerichtet wird, wenn er nach Sonnabendmittag noch lebt, und 2. dass er an einem unerwarteten Tag hingerichtet wird, widersprechen sich. Ergo darf er auch keine weiteren Schlüsse ziehen.
  3. Der Häftling beginnt seine logische Kette mit der Voraussetzung Wenn ich nach Sonnabendmittag noch lebe. Da diese Aussage aber nicht sicher ist, kann er daraus auch nichts folgern.
Anmerkung: Aus falschen Aussagen bzw. Widersprüchen kann man grundsätzlich alles folgern – auch weitere falsche Aussagen.


Montag, 19. September 2016

Paradoxa: G


Deutsch

Heute wird es mathematisch; es folgen drei Paradoxa der Königin der Wissenschaften.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Zuallererst brauchen wir ein Horn. Dazu zeichnen wir den Graphen der Funktion f(x)=1x mit x ≥ 1. (Wer sich unter f(x) nichts vorstellen kann, kann sich die Funktion hier anschauen, beachte aber, dass wir nur die Werte für x ≥ 1 betrachten.) Was wir jetzt schon sehen, ist, dass sich die Funktion mit wachsenden x-Werten immer weiter 0 annähert, aber nie 0 wird.
Nun lassen wir den Graphen um die x-Achse rotieren. Wir erhalten einen Körper, der aussieht wie ein Horn. (Wer sich (auch) darunter nichts vorstellen kann, kann sich die rotierte Funktion für 1 ≤ x ≤ 10 hier anschauen.) Unser Horn ist nun natürlich ebenfalls unendlich lang, weshalb es auch Gabriels Horn heißt, nach dem Erzengel Gabriel. Denn kein Mensch vermag ein unendlich langes Horn zu benutzen.
Jeder dreidimensionale Körper verfügt über ein Volumen und über einen Flächeninhalt. Für einen durch Rotation entstanden Körper berechnet man diese mit den Formeln

V=π·xminxmax(f(x))2dx und A=2·π·xminxmaxf(x)·1+f'(x)2dx
Woher diese Formeln kommen, ist für uns völlig unwichtig. Wir können mit ihnen aber das Volumen und den Flächeninhalt von Gabriels Horn ausrechnen: V = π ≈ 3,14 und A = ∞. Ganz recht: Das Horn hat ein festes, endliches Volumen, aber einen unendlichen Flächeninhalt.

Das Paradoxon ergibt sich nun bei folgender Frage: Wie viel Farbe bräuchte man, wenn man das Horn lackieren wollte? Einerseits bräuchte man, weil der Flächeninhalt unendlich groß ist – da unser Horn keine Dicke besitzt, entspricht der Flächeninhalt sowohl der Außen- als auch der Innenseitenfläche –, auch unendlich viel Farbe, um die Fläche zu lackieren. Andererseits wäre die Innenseite vollständig mit Farbe bedeckt, wenn man das Horn einfach mit dem berechneten, endlichen Volumen an Farbe befüllen würde.

Analyse

Um das Paradoxon aufzulösen, stellen wir uns vor, was passieren würde, wenn wir Farbe in das Horn gössen: Man könnte vermuten, dass die Farbe aufgrund der unendlichen Länge des Horns immer weiter in jenes hineinliefe. Tatsächlich wird der Durchmesser des Horns aber irgendwann so dünn, dass kein Farbtropfen mehr hindurch passte. Man kann also nur einen endlichen Teil des Horns mit Farbe befüllen.

Anmerkung: Irgendwann wird der Durchmesser des Horns natürlich auch zu gering, als dass ein Luftmolekül hindurch passte. Auch kann man sich (mit einem menschlichen Verstand) nur schwer vorstellen, wie man ein unendlich langes Horn überhaupt halten soll. – Ist schon eines komisches Instrument, dieses Gabriels Horn.

Aussage

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen:

Natürliche Zahlen: {1, 2, 3, 4, ...}
Quadratzahlen: {1, 4, 9, 16, ...}
Folgende Aussagen über das Größenverhältnis der Mengen stehen im Widerspruch zueinander:
  1. Für jede natürliche Zahl gibt es eine Quadratzahl und für jede Quadratzahl gibt es eine natürliche Zahl. Also sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen gleichgroß.
  2. Jede Quadratzahl ist eine natürliche Zahl, aber nicht jede natürliche Zahl ist eine Quadratzahl. Also ist die Menge der natürlichen Zahlen größer als die Menge der Quadratzahlen.
Die beiden Mengen sind also einerseits gleichgroß und andererseits nicht gleichgroß.

Analyse

Ausschlaggebend ist, dass hier zwei unendliche Mengen, d. h. zwei Mengen mit unendlich vielen Zahlen, betrachtet werden. Dem war die Mathematik 17. Jh., zu Galileo Galileis Zeiten, noch nicht gewachsen. Heutzutage hat man den Begriff der Größe durch den Begriff der Mächtigkeit ersetzt: Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, d. h. wenn man jede Zahl aus der einen Menge eindeutig auf eine Zahl der anderen Menge abbilden kann und umgekehrt. Da dies nach 1. der Fall ist, sind die natürlichen Zahlen und die Quadratzahlen gleichmächtig.

Aussage

Wie viele Personen muss man versammeln, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben, gleich 50% ist? – Lediglich 23.

Analyse

Das Paradoxe an der Sache ist die geringe Personenzahl, die von Nöten ist. Dabei kann man sie ganz einfach ausrechnen: Gehen wir zunächst davon aus, dass alle Geburtstage gleichmäßig auf die 366 Tage eines Jahres verteilt sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Leute am gleichen Tag Geburtstag haben, gleich eins minus die Wahrscheinlichkeit, dass alle Leute an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben:P=1-366366·365366·364366··366-(n-1)366=1-366!:(366-n)!366nSetzt man nun P = 50%, dann ergibt sich für n ≈ 22,8. Da man schlecht 22,8 Leute in einem Raum versammeln kann, müssen es schon 23 sein.
Natürlich sind die Geburtstage im Jahr nicht gleichverteilt. Allein am 29. Februar haben deutlich weniger Menschen Geburtstag als an anderen Tagen (schätze ich). Da in Wirklichkeit eine Ungleichverteilung der Geburtstage vorliegt, werden auch weniger als 23 Personen benötigt. Wer das nicht nachvollziehen kann, der kann sich überlegen, wie viele Personen man braucht, um mit 100%iger Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen mit dem gleichen Geburtstag zu erwischen, bei

  1. einer extremen Ungleichverteilung, bei der alle Geburtstage auf einen einzigen Tag im Jahr fallen. (Antwort: 2)
  2. einer Gleichverteilung, bei der sich alle Geburtstage gleichmäßige auf die Tage im Jahr verteilen. (Antwort: 367)
Anders ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau (und nicht mindestens) zwei von n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben:P=366366·(n2)366·365366··366-(n-2)366=(n2)·366!:(367-n)!366nSetzt man n = 23, dann ist P ≈ 36%. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Personen ist natürlich kleiner als für mindestens zwei Personen.

Ich selbst war in einer Schulklasse mit 17 Mann, unter denen es sogar zwei Doppelgeburtstage gibt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist lediglich:P=(172)·(17-22)·366!:(369-17)!366170,06%Und dieses Ergebnis erscheint uns wiederum alles andere als paradox.