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Montag, 26. September 2016

Paradoxa: H


Deutsch

Für die neuen Leser: Dieser Beitrag ist Teil der Paradoxa-Reihe. Jeden Montag stelle ich in alphabetischer Reihenfolge drei Paradoxa vor. Wer sich das bis nächste Woche nicht merken kann oder auch automatisch über andere Beiträge informiert werden möchte, kann gerne meinen Blog per E-Mail abonnieren. Dazu einfach am rechten Rand im Feld E-Mail folgen eine E-Mail-Adresse eingeben und bestätigen. Allerdings lohnt es sich immer, den Beitrag dann auf dieser Seite zu lesen; manchmal werden in der automatisch erzeugten E-Mail-Version Sachen schlecht formatiert.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Die folgenden beiden Aussagen werden wohl von allen akzeptiert:

  1. (1) 10.000 Sandkörner sind ein Haufen.
  2. (2) Wenn n Sandkörner ein Haufen sind, dann sind auch (n-1) Sandkörner ein Haufen.
Aus ihnen folgt jedoch, dass 0 Sandkörner ein Haufen sind, denn:
  1. (1) ⇒ 10.000 Sandkörner sind ein Haufen.
  2. (2) ⇒ 9.999 Sandkörner sind ein Haufen.
  3. (2) ⇒ 9.998 Sandkörner sind ein Haufen.
  4.  ⋮
  5. (2) ⇒ 2 Sandkörner sind ein Haufen.
  6. (2) ⇒ 1 Sandkorn ist ein Haufen.
  7. (2) ⇒ 0 Sandkörner sind ein Haufen.
Und dass 0 Sandkörner ein Haufen sind, wird wohl nicht von allen akzeptiert.
Für 10.000 kann man natürlich auch jede andere Zahl einsetzen, von der man meint, dass so viele Sandkörner auf alle Fälle ein Haufen sind. Durch die wiederholte Anwendung von Schritt (2) kommt man immer zum gleichen Ergebnis. Wer meint, dass Schritt (2) falsch ist und es eine Zahl m gibt, für die gilt, dass m Sandkörner ein Haufen sind, (m-1) Sandkörner jedoch nicht, der kann mir diese Zahl gern mitteilen.

Analyse

Das Problem ist, dass Haufen kein genau definierter Begriff ist, sondern einfach nur eine große Menge von etwas beschreibt. Man kann trotzdem versuchen, das Paradoxon aufzulösen:

  • Man könnte einen Haufen als eine Ansammlung von Objekten gleichen Typs wie eine Liste, einen Stapel oder eine Warteschlange in der Informatik betrachten: Ein Stapel Bücher ist ein Stapel, egal, wie viele Bücher auf ihm liegen. Ein Stapel kann leer sein oder auch nur ein Buch enthalten. Diese Betrachtungsweise entspricht aber nicht der umgangssprachlichen Verwendung dieser Begriffe.
  • Man könnte eine Grauzone einführen, in der die Anzahlen liegen, bei denen man nicht genau sagen kann, ob es sich bei einer Ansammlung von Sandkörnern in diesem Zahlenbereich um einen Haufen handelt oder nicht. Allerdings kann man die Abgrenzung zwischen den Zahlenbereichen für Haufen, Haufen oder kein Haufen und kein Haufen genau so schlecht festlegen wie die Abgrenzung zwischen den Zahlenbereichen für Haufen und kein Haufen ohne Grauzone.
  • Man könnte generell sagen, dass man nicht genau festlegen kann, ob eine Ansammlung von Sandkörnern ein Haufen sind oder nicht, sondern, dass man nur gradieren kann und immer eine Vergleichzahl braucht: So wäre eine Ansammlung von 500 Körnern weniger Haufen als eine Ansammlung von 800 Körnern und eine Ansammlung von 10 Körnern wäre mehr Haufen als eine Ansammlung von 0 Körnern.
Keine dieser Auflösungen ist wirklich zufriedenstellend. Also bleibt uns vorerst wohl nichts anderes übrig, als die Vagheit der Sprache hinzunehmen. Das Paradoxon tritt allerdings nicht nur in der Sprachphilosophie auf, sondern auch in der Verhaltensforschung oder im Tierreich. Im Folgenden möchte ich daher noch vom Frosch im kochenden Wasser erzählen.
  1. (1) Ein Frosch in 20 °C warmem Wasser fühlt sich wohl.
  2. (2) Wenn sich ein Frosch in n °C warmem Wasser wohlfühlt, dann fühlt er sich auch in (n+0,01) °C warmem Wasser wohl (weil ein Frosch einen Temperaturunterschied von 0,01 °C gar nicht wahrnehmen kann).
Folglich würde ein Frosch, den man in 20 °C warmes Wasser setzt, welches man sehr langsam erwärmt, nicht aus dem Wasser herausspringen und schlussendlich verbrühen. Ehe sich jetzt jemand einen Frosch fängt und das zu Hause ausprobieren möchte: Das haben schon Leute gemacht. Während ältere Studien behaupten, dass man das Wasser nur langsam genug erhitzen müsse, damit der Frosch verbrüht, sagen neuere, dass ein Frosch in jedem Fall herausspränge, wenn er die Möglichkeit dazu habe.

Aussage

Es existiert ein Teilstück D der Kugel S, so dass S\D (S ohne D) in zwei Teile zerlegt werden kann, die beide äquivalent zu S\D sind.
Dieses Paradoxon bildet die Grundlage für das Banach-Tarski-Paradoxon:
Man kann eine Kugel so in endlich viele Teile zerlegen, dass man aus diesen Teilen zwei Kugeln zusammensetzen kann, die beide äquivalent zur Originalkugel sind.
Wie das genau funktionieren soll, erklärt Michael Stevens sehr anschaulich in seinem Video The Banach–Tarski Paradox. Wir wollen uns hier nicht weiter mit dem Beweis beschäftigen.

Analyse

Das Banach-Tarski-Paradoxon behauptet, man könne eine Kugel geschickt so zerlegen und wieder zusammensetzen, dass man hinterher zwei Kugeln hat, die genau so groß sind wie das Original.
In der mathematischen Theorie funktioniert das, weil man davon ausgehen kann, dass eine Kugel aus unendlich vielen Punkten besteht. In der physikalischen Praxis sieht das (nach dem heutigen Kenntnisstand) aber anders aus: Eine Kugel in der realen Welt besteht nur aus einer endlichen Anzahl von Teilchen und diese kann man nicht so aufteilen, dass man aus den Teilen zwei Kugeln der Größe des Originals zusammensetzen kann.
Um die Bedeutung des Unterschieds zwischen Unendlichkeit und Endlichkeit besser nachvollziehen zu können, stellen wir uns eine Warteschlange vor, in der unendlich viele Menschen stehen. Es ist nun möglich, diese Menschen in zwei Warteschlangen unterzubringen, die beide genauso lang sind, wie die ursprüngliche Warteschlange. Dazu nehmen wir einfach jeden zweiten Wartenden und reihen ihn in eine zweite Warteschlange ein. Stellen wir uns jedoch eine Warteschlange vor, in der nur endlich viele Menschen stehen, so ist es nicht möglich, diese Menschen in zwei Warteschlangen unterzubringen, die beide genauso lang sind wie die ursprüngliche Warteschlange.

, Banach–Tarski paradox

Aussage

Ein Häftling sitzt im Todesblock. Man hat ihm gesagt, dass er im Laufe der kommenden Woche an einem für ihn unerwarteten Tag hingerichtet wird. Hinrichtungen sind immer Mittags. Nun denkt er sich: Wenn ich nach Sonnabendmittag noch lebe, dann muss ich am Sonntag hingerichtet werden. Das wäre dann aber nicht unerwartet. Also kann ich nicht am Sonntag hingerichtet werden. Wenn ich nach Freitagmittag noch lebe, dann muss ich am Sonnabend oder Sonntag hingerichtet werden. Da ich den Sonntag bereits ausgeschlossen habe, muss ich am Sonnabend hingerichtet werden. Das wäre dann aber nicht unerwartet. Und so weiter ... Erfreut kommt der Häftling zu dem Schluss, dass er jeden Tag ausschließen kann und somit gar keine Hinrichtung für ihn angesetzt ist. Und so kommt es sehr unerwartet für den Häftling, als man ihn an einem der Tage aus seiner Zelle holt und hinrichtet.

Eine weniger brutale Version ist die Lehrerin, die der Klasse einen Überraschungstest für die nächste Woche ankündigt.

Analyse

Die Logik des Gefangenen enthält offensichtlich einen Fehler. Diesen kann man an mehreren Stellen finden:

  1. Zu Recht kann der Häftling den Sonntag ausschließen, wenn er davon ausgeht, dass man ihm die Wahrheit gesagt hat. Am Sonnabend kann er dann jedoch nicht wissen, ob man ihm die Wahrheit gesagt hat und er am Sonnabend hingerichtet wird oder ob man ihn belogen hat und er am Sonntag hingerichtet wird. Somit kann er auch am Sonnabend (oder an einem beliebigen Tag davor) unerwartet hingerichtet werden.
  2. Die beiden Annahmen des Häftlings, 1. dass er am Sonntag hingerichtet wird, wenn er nach Sonnabendmittag noch lebt, und 2. dass er an einem unerwarteten Tag hingerichtet wird, widersprechen sich. Ergo darf er auch keine weiteren Schlüsse ziehen.
  3. Der Häftling beginnt seine logische Kette mit der Voraussetzung Wenn ich nach Sonnabendmittag noch lebe. Da diese Aussage aber nicht sicher ist, kann er daraus auch nichts folgern.
Anmerkung: Aus falschen Aussagen bzw. Widersprüchen kann man grundsätzlich alles folgern – auch weitere falsche Aussagen.


Montag, 19. September 2016

Paradoxa: G


Deutsch

Heute wird es mathematisch; es folgen drei Paradoxa der Königin der Wissenschaften.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Zuallererst brauchen wir ein Horn. Dazu zeichnen wir den Graphen der Funktion f(x)=1x mit x ≥ 1. (Wer sich unter f(x) nichts vorstellen kann, kann sich die Funktion hier anschauen, beachte aber, dass wir nur die Werte für x ≥ 1 betrachten.) Was wir jetzt schon sehen, ist, dass sich die Funktion mit wachsenden x-Werten immer weiter 0 annähert, aber nie 0 wird.
Nun lassen wir den Graphen um die x-Achse rotieren. Wir erhalten einen Körper, der aussieht wie ein Horn. (Wer sich (auch) darunter nichts vorstellen kann, kann sich die rotierte Funktion für 1 ≤ x ≤ 10 hier anschauen.) Unser Horn ist nun natürlich ebenfalls unendlich lang, weshalb es auch Gabriels Horn heißt, nach dem Erzengel Gabriel. Denn kein Mensch vermag ein unendlich langes Horn zu benutzen.
Jeder dreidimensionale Körper verfügt über ein Volumen und über einen Flächeninhalt. Für einen durch Rotation entstanden Körper berechnet man diese mit den Formeln

V=π·xminxmax(f(x))2dx und A=2·π·xminxmaxf(x)·1+f'(x)2dx
Woher diese Formeln kommen, ist für uns völlig unwichtig. Wir können mit ihnen aber das Volumen und den Flächeninhalt von Gabriels Horn ausrechnen: V = π ≈ 3,14 und A = ∞. Ganz recht: Das Horn hat ein festes, endliches Volumen, aber einen unendlichen Flächeninhalt.

Das Paradoxon ergibt sich nun bei folgender Frage: Wie viel Farbe bräuchte man, wenn man das Horn lackieren wollte? Einerseits bräuchte man, weil der Flächeninhalt unendlich groß ist – da unser Horn keine Dicke besitzt, entspricht der Flächeninhalt sowohl der Außen- als auch der Innenseitenfläche –, auch unendlich viel Farbe, um die Fläche zu lackieren. Andererseits wäre die Innenseite vollständig mit Farbe bedeckt, wenn man das Horn einfach mit dem berechneten, endlichen Volumen an Farbe befüllen würde.

Analyse

Um das Paradoxon aufzulösen, stellen wir uns vor, was passieren würde, wenn wir Farbe in das Horn gössen: Man könnte vermuten, dass die Farbe aufgrund der unendlichen Länge des Horns immer weiter in jenes hineinliefe. Tatsächlich wird der Durchmesser des Horns aber irgendwann so dünn, dass kein Farbtropfen mehr hindurch passte. Man kann also nur einen endlichen Teil des Horns mit Farbe befüllen.

Anmerkung: Irgendwann wird der Durchmesser des Horns natürlich auch zu gering, als dass ein Luftmolekül hindurch passte. Auch kann man sich (mit einem menschlichen Verstand) nur schwer vorstellen, wie man ein unendlich langes Horn überhaupt halten soll. – Ist schon eines komisches Instrument, dieses Gabriels Horn.

Aussage

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen:

Natürliche Zahlen: {1, 2, 3, 4, ...}
Quadratzahlen: {1, 4, 9, 16, ...}
Folgende Aussagen über das Größenverhältnis der Mengen stehen im Widerspruch zueinander:
  1. Für jede natürliche Zahl gibt es eine Quadratzahl und für jede Quadratzahl gibt es eine natürliche Zahl. Also sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen gleichgroß.
  2. Jede Quadratzahl ist eine natürliche Zahl, aber nicht jede natürliche Zahl ist eine Quadratzahl. Also ist die Menge der natürlichen Zahlen größer als die Menge der Quadratzahlen.
Die beiden Mengen sind also einerseits gleichgroß und andererseits nicht gleichgroß.

Analyse

Ausschlaggebend ist, dass hier zwei unendliche Mengen, d. h. zwei Mengen mit unendlich vielen Zahlen, betrachtet werden. Dem war die Mathematik 17. Jh., zu Galileo Galileis Zeiten, noch nicht gewachsen. Heutzutage hat man den Begriff der Größe durch den Begriff der Mächtigkeit ersetzt: Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, d. h. wenn man jede Zahl aus der einen Menge eindeutig auf eine Zahl der anderen Menge abbilden kann und umgekehrt. Da dies nach 1. der Fall ist, sind die natürlichen Zahlen und die Quadratzahlen gleichmächtig.

Aussage

Wie viele Personen muss man versammeln, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben, gleich 50% ist? – Lediglich 23.

Analyse

Das Paradoxe an der Sache ist die geringe Personenzahl, die von Nöten ist. Dabei kann man sie ganz einfach ausrechnen: Gehen wir zunächst davon aus, dass alle Geburtstage gleichmäßig auf die 366 Tage eines Jahres verteilt sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Leute am gleichen Tag Geburtstag haben, gleich eins minus die Wahrscheinlichkeit, dass alle Leute an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben:P=1-366366·365366·364366··366-(n-1)366=1-366!:(366-n)!366nSetzt man nun P = 50%, dann ergibt sich für n ≈ 22,8. Da man schlecht 22,8 Leute in einem Raum versammeln kann, müssen es schon 23 sein.
Natürlich sind die Geburtstage im Jahr nicht gleichverteilt. Allein am 29. Februar haben deutlich weniger Menschen Geburtstag als an anderen Tagen (schätze ich). Da in Wirklichkeit eine Ungleichverteilung der Geburtstage vorliegt, werden auch weniger als 23 Personen benötigt. Wer das nicht nachvollziehen kann, der kann sich überlegen, wie viele Personen man braucht, um mit 100%iger Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen mit dem gleichen Geburtstag zu erwischen, bei

  1. einer extremen Ungleichverteilung, bei der alle Geburtstage auf einen einzigen Tag im Jahr fallen. (Antwort: 2)
  2. einer Gleichverteilung, bei der sich alle Geburtstage gleichmäßige auf die Tage im Jahr verteilen. (Antwort: 367)
Anders ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau (und nicht mindestens) zwei von n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben:P=366366·(n2)366·365366··366-(n-2)366=(n2)·366!:(367-n)!366nSetzt man n = 23, dann ist P ≈ 36%. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Personen ist natürlich kleiner als für mindestens zwei Personen.

Ich selbst war in einer Schulklasse mit 17 Mann, unter denen es sogar zwei Doppelgeburtstage gibt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist lediglich:P=(172)·(17-22)·366!:(369-17)!366170,06%Und dieses Ergebnis erscheint uns wiederum alles andere als paradox.


Montag, 12. September 2016

Paradoxa: F


Deutsch

Aus dem Effeff: Drei weitere Paradoxa.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Die drei Aussagen

  1. Die meisten Leute werden von wissentlich fiktiven Personen (wie Harry Potter), Dingen (wie dem Sprechenden Hut) oder Ereignissen (wie Dumbledores Tod) emotional berührt,
  2. Um emotional berührt zu werden, muss man glauben, dass die auslösenden Personen, Dinge oder Ereignisse real sind und
  3. Niemand glaubt gleichzeitig von etwas, dass es fiktiv und real ist
scheinen alle für sich wahr zu sein. Trotzdem schließen je zwei der Aussagen die verbliebene dritte aus, d. h. alle drei Aussagen können nicht gleichzeitig wahr sein.

Formal ausgedrückt: Sei F = Man glaubt von etwas, dass es fiktiv ist, R = Man glaubt von etwas, dass es real ist und E = Man wird von etwas emotional berührt. Die Verknüpfung der drei Aussagen (F ∧ E), (E ⇒ R) und ¬(F ∧ R) ist bei jeder möglichen Belegung von F, R und E falsch (0) und niemals wahr (1). Beweis durch Wahrheitstafel:

FRE(F ∧ E)(E ⇒ R)¬(F ∧ R)(F ∧ E) ∧ (E ⇒ R) ∧ ¬(F ∧ R)
0000110
0010010
0100110
0110110
1000110
1011010
1100100
1111100

Analyse

Um den Widerspruch zu beseitigen, muss man sich die drei Aussagen anschauen. Entpuppt sich eine von ihnen als falsch, widersprechen sich die anderen beiden nicht mehr. Allerdings kann man für jede der Aussagen argumentieren, dass sie falsch ist:

  1. Man könnte meinen, dass die Leute von wissentlich fiktiven Personen, Dingen oder Ereignissen überhaupt nicht richtig emotional berührt werden, sondern nur etwas weniger Starkes empfinden. Zwar kann man eine gewisse emotionale Nähe zu fiktiven Personen etc. aufbauen, diese ist jedoch nicht vergleichbar damit, wie einen reale Personen etc. emotional berühren.
  2. Auch könnte man meinen, dass man nicht glauben muss, dass etwas real ist, um davon emotional berührt zu werden. So können reale Personen etc. die gleichen Emotionen auslösen wie fiktive.
  3. Und schlussendlich könnte man meinen, dass man sehr wohl gleichzeitig von etwas glauben kann, dass es fiktiv und dass es real ist, bzw. dass wir in unserer Wahrnehmung überhaupt keinen Unterschied zwischen fiktiven und realen Personen etc. machen.

Aussage

Angenommen, jede Wahrheit ist erkennbar. Dann folgt daraus, dass jede Wahrheit bekannt ist.

Beweis: Sei p eine beliebige Aussage. Angenommen, p ist eine unbekannte Wahrheit, d. h. p ist wahr, aber es ist nicht bekannt, dass p wahr ist. Dann ist die Aussage p ist eine unbekannte Wahrheit wahr. Da per Annahme jede Wahrheit erkennbar ist, müsste auch p ist eine unbekannte Wahrheit erkennbar sein. Aber das ist sie nicht, denn sobald man erkennt, dass p eine unbekannte Wahrheit ist, erkennt man auch, dass p wahr ist. Somit ist p nicht länger eine unbekannte Wahrheit, sondern eine bekannte, und die Aussage p ist eine unbekannte Wahrheit würde falsch. Also kann die Aussage p ist eine unbekannte Wahrheit nicht gleichzeitig wahr und bekannt sein. Da per Annahme aber jede Wahrheit erkennbar ist, kann p ist eine unbekannte Wahrheit nur falsch sein. Somit war die Annahme für p falsch und p muss bekannt oder falsch sein. Da p beliebig ist, muss jede Aussage bekannt oder falsch und damit insbesondere jede wahre Aussage bekannt sein.

Analyse

Da in der Formulierung von (Frederic) Fitchs Paradoxon (der Erkennbarkeit) die Beziehung jede Wahrheit ist erkennbarjede Wahrheit ist bekannt schon bewiesen ist, gibt es nur zwei Möglichkeiten, von denen mindestens eine wahr sein muss:

  1. Es ist tatsächlich jede Wahrheit bekannt oder
  2. Es ist nicht jede Wahrheit erkennbar.
Zwar enthalten nach dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz alle rekursiv aufzählbaren Systeme Aussagen, die man weder beweisen noch widerlegen kann – möglicherweise existieren also Wahrheiten, die nicht erkennbar sind –, da wir es aber nicht genau wissen (können), ist jede Wahrheit ist erkennbar noch nicht widerlegt. Somit muss offen bleiben, ob 1. oder 2. zutrifft.

Aussage

Die Freunde beinahe jeder Person haben durchschnittlich mehr Freunde als die Person selbst.

Analyse

Schauen wir uns zuerst ein Beispiel an. Die folgende Graphik zeigt ein soziales Netzwerk mit Personen und deren Freundschaftsbeziehungen untereinander.

Die erste Zahl gibt an, wie viele Freunde die Person hat. Die zweite Zahl gibt an, wie viele Freunde die Freunde der Person durchschnittlich haben.

Nur vier von elf Personen (nämlich Clara, Friedrich, Ida und Karl) haben selbst mehr Freunde als ihre Freunde im Durchschnitt.
Allgemein ist die durchschnittliche Anzahl der Freunde einer beliebigen Person µ=ΣPerson|Freunde(Person)||Personen|=2·|Freundschaftsbeziehungen||Personen|. (µ ist also die Summe aller ersten Zahlen in der Graphik geteilt durch die Anzahl der Personen.) In unserem Beispiel: µ=2·1911=3,5, d. h. jede Person hat durchschnittlich 3,5 Freunde.
Die durchschnittliche Anzahl der Freunde der Freunde einer beliebigen Person ist ν=ΣPerson|Freunde(Person)|22·|Freundschaftsbeziehungen|=µ+σ2µ. (ν ist also die Summe aller zweiten Zahlen in der Graphik geteilt durch die Anzahl der Personen.) In unserem Beispiel: ν=3,5+0,663,5=3,7, d. h. jeder Freund einer Person hat durchschnittlich 3,7 Freunde.
Sowohl im Beispiel als auch generell gilt ν ≥ µ. Somit wurde das Paradoxon mathematisch aufgelöst.
Dasselbe Phänomen ist auch bei anderen sozialen Beziehungen als der Freundschaft zu beobachten. So haben die (Ex-)Partner beinahe jeder Person durchschnittlich mehr (Ex-)Partner als die Person selbst.


Sonntag, 11. September 2016

Linguistik Meetup Berlin-Potsdam


DeutschEnglish

Am 9. September fand das dritte jährli­che und von den Studen­ten der Universitä­ten in Berlin und Potsdam or­ganisier­te Lingu­is­tik Meet­up Berlin-Potsdam in Berlin statt. Wir – diesmal nur ein Pluralis Majestatis – wa­ren da!
Mei­ne persönli­chen Ein­drüc­ke – ein kurzer Über­blick:
  • Ei­ne Kennenlernrun­de war diesmal nicht nötig, da es Namens­schildchen gab. ;-)
  • Es gab jede Menge in­ter­essante Vor­träge, u. a. zu den Themen Grie­chen­landkriseme­t­haphorik, V3-Sät­ze, Kiezdeutsch, zykli­sches Reinforcement und Gebär­den­spra­che. An­schließend wurde beim Picknick noch lang über diverse Themen – Pirahã vs. Chomskyismus, ideo­logisieren­de Bildungs­spra­che, Flexi­ons­para­digmenfunktionen und vieles mehr – diskutiert.
  • Es gab diesmal zahlrei­che Kaffeepausen und auch un­se­re Mittags­pause zog sich etwas in die Länge, da offenbar alle Mensen der Stadt ge­schlos­sen hat­ten, und so wa­ren wir am En­de zwei Stun­den hin­ter dem Plan.
  • Ich wette­re ja gern mal gegen Geistes­wis­senschafts­studen­ten und schließe dabei auch die Lingu­is­tik­studen­ten nicht aus. Mei­ner Mei­nung nach, sind 90% von ihnen plan- und zi­el­los, arbeits­scheu, langsam sowie des­in­ter­es­siert. Es ist schön, dass man auf Tagun­gen wie die­ser mal Kon­takt zu den an­de­ren 10% ha­ben kann.

On September 9 the third annual Linguis­tics Meet­up Berlin-Potsdam orga­nized by the students of the uni­versities in Berlin and Potsdam took place in Berlin. We—this time just a majestic plural—were there!
My person­al im­pres­sions—short overview:
  • A speed dating was not nec­essary at this time, because we had name badges. ;-)
  • There were a lot of inter­est­ing presentations, e. g. about Greece crises metaphors, German V3 sen­tences, German youth dialect Kiezdeutsch, cyclic re­inforce­ment and sign language. Af­ter that we discussed sev­eral top­ics—Pirahã vs. Chomskyism, ideol­o­gis­ing eru­dite language, inflection paradigm functions and much more—dur­ing a long picnic.
  • This time there were many coffee breaks and our lunch break also lengthened it­self a bit, because ap­par­ently all canteens of the city were closed, and so we were two hours behind sched­ule at the end.
  • I am known for declaiming against human­ities students and do not exclude linguis­tics students at it. To my mind, 90% of them are plan- and aim­less, lazy, slow and also disinter­ested. It is nice to make con­tact with the oth­er 10% at meet ups like this one.

Montag, 5. September 2016

Paradoxa: E


Deutsch

Numero cinque hält gleich als Erstes ein weiteres sozioökonomisches Paradoxon bereit. Weiter geht es dann mit Gott und der Welt und zuletzt erheben wir die Gläser – doch wie oft?

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Sofern existenzielle Bedürfnisse gestillt sind, führt mehr Reichtum nicht zu mehr Glück. Veranschaulicht wird dieser Sachverhalt durch das folgende Diagramm, welches den Satisfaction-with-Life-Index in Abhängigkeit vom Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt darstellt:


Quelle: Die Daten wurden für das Pro-Kopf-BIP (2016) von der New Economics Foundation und für den SLI (2006) von der Universität Leicester erhoben; zuletzt eingesehen am 28.08.2016. Das Diagramm wurde mit OpenOffice 4.1.1 erstellt.

Dabei repräsentiert jeder Datenpunkt ein Land. In Deutschland betrug das Pro-Kopf-BIP zum Erfassungszeitpunkt der Daten 44.011 USD (ca. 39.000 EUR) und der SLI lag bei 240. Aus dem Diagramm geht hervor, dass der SLI immer langsamer zu steigen und schließlich zu stagnieren scheint.

Analyse

Zunächst einmal ist es umstritten, ob dieses Paradoxon wirklich existiert; verschiedene Studien kommen auf verschiedene Resultate. Aber für den Fall, dass es wahr ist, kann man sagen, dass Leute mit mehr Geld nicht glücklicher sind als Leute mit weniger Geld. Dies wird damit erklärt, dass jeder Mensch über eine Art Glücksnullpunkt verfügt, zu welchem er nach (auch starken) positiven und negativen Lebensereignissen relativ schnell wieder zurückkehrt (hedonistische Adaption). Geld beeinflusst diesen Glücksnullpunkt allerdings kaum.

Aussage

Es gibt einen Widerspruch zwischen der Allmächtigkeit und Gutheit Gottes und dem Übel in der Welt.

  1. Gott kann das Übel in der Welt beseitigen und er will es auch.
    – Warum ist es dann da?
  2. Gott kann das Übel in der Welt beseitigen, aber er will es nicht.
    – Dann ist er nicht gut.
  3. Gott kann das Übel in der Welt nicht beseitigen, aber er will es.
    – Dann ist er nicht allmächtig.
  4. Gott kann das Übel in der Welt weder beseitigen, noch will er es.
    – Warum nennen wir ihn dann Gott?

Analyse

Wieder einmal kann das Paradoxon auf viele verschiedene Weisen aufgelöst werden. Es folgen vier Ansätze:

  1. Mit Logik: Aus den Aussagen Wenn es einen Gott gibt, dann ist er allmächtig und gut, Ein allmächtiger und guter Gott beseitigt das Übel in der Welt und Es gibt Übel in der Welt folgt schlicht und ergreifend, dass es keinen Gott gibt.
  2. Mit Definitionen: Diese Auflösungsart kennen wir bereits aus dem Allmachtsparadoxon . Wir können ganz einfach davon ausgehen, dass die Allmacht über der Logik steht; somit kann es einen Gott geben, der gleichzeitig das Übel in der Welt beseitigen kann/will und nicht beseitigen kann/will.
  3. Mit möglichen Welten: Nach dieser Theorie gibt es eine unendliche Anzahl möglicher Welten. Von diesen kennt Gott die beste und macht sie in seiner Allmächtigkeit und Gutheit zur realen Welt. Das Übel in der Welt ist somit das kleinstmögliche Übel.
  4. Mit Erklärungen: Erklärungen geben kann man viele. Möglicherweise ist Gott ja gar nicht gut oder für ihn bedeutet gut, dass er sich nicht einmischt bzw. die Menschen machen können, was sie wollen. Vielleicht hat er sich zurückgezogen oder er ist gerade mal nicht da. Vielleicht ist er gar tot, wie Nietzsche vermutet hat. Möglicherweise steht sein Antagonist, der Teufel, nicht unter seiner Kontrolle ... Wer weiß, wer weiß.
Schon in der Bibel wird dieses Dilemma aufgegriffen. Dort erlaubt Gott dem Teufel, dem frommen Hiob sehr großes Übel zuzufügen. Die Geschichte soll zeigen, dass Übel nicht immer eine Strafe und Gutes nicht immer eine Belohnung Gottes ist. (Auch, wenn am Ende der Geschichte Hiobs standhafter Glaube an Gott belohnt wurde.)

Aussage

Es kann einfacher sein, ein generelleres Problem zu lösen, als ein spezifisches.

Beispiel: Bei einer Feier sind 25 Gäste. Wie viele Anstöße gibt es, wenn jeder Gast mit jedem anderen Gast genau einmal anstößt?

Lösung 1:   24   
24+23=47   
47+22=69   
...   
Der erste Gast kann mit 24 verschiedenen Leuten anstoßen, der zweite kann mit 23 verschiedenen Leuten anstoßen (weil er ja schon mit dem ersten angestoßen hat) usw.
Man sieht, dass das sehr lange dauern kann. Besonders, wenn auf der Feier noch mehr Leute sind.

Lösung 2:   Man kann sich leicht überlegen, dass bei einer Feier, bei der n Gäste anwesend sind, n Gäste mit (n-1) anderen Gästen anstoßen können. Da die Reihenfolge aber egal ist (d. h. es macht keinen Unterschied, ob der erste Gast mit dem zweiten Gast oder zweite Gast mit dem ersten Gast anstößt), muss noch durch zwei geteilt werden. Demnach gibt es n·(n-1)/2 Anstöße. Setzt man für n 25 ein, erhält man 25·(25-1)/2=25·12=300 Anstöße.
Außerdem ist es nun ein Leichtes, größere Zahlen für n einzusetzen.
Anmerkung: n·(n-1)/2 ist dasselbe wie (n über 2). Ginge man davon aus, dass nicht immer genau zwei, sondern genau k Leute miteinander anstoßen, so kann man die Formel zur Berechnung der Anzahl von Anstößen einmal mehr generalisieren zu (n über k). Beispielsweise ist (25 über 3)=2300.

Analyse

In der Mathematik und der Informatik löst man oft allgemeinere Probleme und wendet die Lösung dann auf den Spezialfall an (wie im vorangegangenen Beispiel). Allerdings liegt die Betonung bei Es kann einfacher sein auf dem Wörtchen kann; natürlich gibt es auch viele Probleme, bei denen es leichter ist, den Spezialfall zu lösen. Beispielsweise würde man beim Umgang mit Fibonacci-Zahlen eher einen Algorithmus zur Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl als zur Berechnung der n-ten Lucas-Zahl implementieren.