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Montag, 22. August 2016

Paradoxa: C


Deutsch

Wer gedacht hat, dass es ob der kleinen Anfangsbuchstabenhäufigkeit von C heute nichts zu erzählen gibt, hat sich wohl geirrt. Auch heute gibt es drei spannende Paradoxa. Neben das Paradoxon, die Paradoxa kann man übrigens auch das Paradox, die Paradoxe, die Paradoxie, die Paradoxien oder das Paradoxe, die Paradoxen sagen, ganz wie einem beliebt.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Einem Beispiel des Catch-22-Problems sehen sich vor allem Berufseinsteiger gegenüber:

  1. Um sich für eine Stelle zu bewerben, muss man einige Jahre Erfahrung haben.
  2. Um Erfahrungen zu sammeln, muss man eine Stelle haben.
  3. Um eine Stelle zu bekommen, muss man sich für eine Stelle bewerben.
Die Bewerbung, die Erfahrung und die Stelle stehen hierbei in einer zyklischen Abhängigkeit ...

… ⇐ Stelle ⇐ Bewerbung ⇐ Erfahrung ⇐ Stelle ⇐ Bewerbung ⇐ Erfahrung ⇐ Stelle ⇐ Bewerbung ⇐ …

..., die zur Folge hat, dass kein Berufseinsteiger eine Stelle bekommt.


Quelle: http://9gag.com/gag/axNmLRn/getting-a-job-nowadays

Das Problem ist dabei nicht der Widerspruch zwischen diesen Regeln an sich und der Tatsache, dass es eben doch Leute gibt, die eine Stelle haben, sondern dass es überhaupt solche widersprüchlichen und offenbar unentrinnbaren Regeln gibt. Das Catch-22-Problem ist somit eine Metapher für solche Regeln, wo immer sie auftauchen.

Analyse

Den Namen verdankt das Problem dem 1961 erschienenen Antikriegsroman Catch-22 von Joseph Heller. In dem dort beschriebenen Problem geht es um die Freistellung vom Kriesdienst aufgrund von Unzurechnungsfähigkeit:

Damit man vom Kriegsdienst freigestellt wird (F), muss man unzurechnungsfähig sein (U) und eine diesbezügliche Untersuchung beantragen (B).F ⇒ (U & B)
Aber keine unzurechnungsfähige Person beantragt eine Untersuchung, da sie ja selbst nicht mitbekommt, dass sie unzurechnungsfähig ist.U ⇒ ¬B
Folglich ist jede Person entweder nicht unzurechnungsfähig oder hat keine Untersuchung beantragt.¬U ∨ ¬B
Folglich ist keine Person gleichzeitig unzurechnungsfähig und hat eine Untersuchung beantragt.¬(U & B)
Aus der ersten und der letzten Zeile folgt, dass niemand vom Kriegsdienst freigestellt wird, da niemand die notwendigen Bedingungen dafür erfüllt.¬F

Das Beispiel illustriert, wie falsche Hoffnung unter den Menschen erzeugt wird: Jeder kann hoffen, dem Kriegsdienst zu entgehen, wenn er nur die richtigen Bedingungen erfüllt, dabei ist es unmöglich, sie zu erfüllen.
Andersherum ist es beim Einführungsbeispiel: Die Bewerber können aufgrund der widersprüchlichen Regeln nicht hoffen, eingestellt zu werden; aber da es genug Leute gibt, die arbeiten, muss es welche geben, die sich beworben haben, ohne Erfahrung zu besitzen, oder welche, die Erfahrung besitzen, ohne eine Stelle gehabt zu haben, oder welche die eine Stelle bekommen haben, ohne sich zu bewerben.

Aussage

Erklärung von (In-)Transitivität

Transitivität: Eine Relation R zwischen den Elementen einer Menge ist transitiv, wenn für drei Elemente x, y und z dieser Menge gilt, dass aus xRy und yRz stets xRz folgt.
Einfaches Beispiel: Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen ℕ={1, 2, 3, ...}. Die Relation < (Kleiner-als-Relation) ist transitiv, da für alle Zahlen x, y, z aus ℕ gilt: x<y & y<z ⇒ x<z. Bsp.: 5<12 & 12<42 ⇒ 5<42.
Intransitivität: Eine Relation R zwischen den Elementen einer Menge ist intransitiv, wenn für mindestens drei Elemente x, y und z dieser Menge gilt, dass xRy und yRz, aber nicht xRz gilt.
Einfaches Beispiel: Wir betrachten die Menge der Schnick-Schnack-Schnuck-Zeichen {Schere, Stein, Papier}. Die Relation schlägt ist intransitiv, da für die drei Zeichen Stein, Schere und Papier gilt: Stein schlägt Schere und Schere schlägt Papier, aber nicht Stein schlägt Papier.
Das nach Nicolas de Condorcet (18. Jh.) benannte Paradoxon tritt bei Wahlen mit Präferenzlisten auf. Stellen wir uns eine Bürgermeisterwahl zwischen einer Arbeiterpartei (AP), einer Bauernpartei (BP) und einer Christenpartei (CP) vor. Jeder Bürger hat eine individuelle Präferenzliste der Parteien. Die Präferenz ist dabei eine transitive Relation: Wenn ein Bürger die XP gegenüber der YP präferiert und die YP gegenüber der ZP präferiert, dann präferiert er auch die XP gegenüber der ZP. Zur Wahl werden nun nicht nur eine oder zwei Stimmen, sondern die ganze Präferenzliste abgegeben. Die Auszählung ergibt folgende Ergebnisse:

Anteil:33,3%33,3%33,3%
Erstwunsch:APBPCP
Zweitwunsch:BPCPAP
Drittwunsch:CPAPBP

Welche Partei darf nun den Bürgermeister stellen? Die AP wurde mehrheitlich gegenüber der BP bevorzugt und die BP wurde mehrheitlich gegenüber der CP bevorzugt, trotzdem wurde die AP nicht mehrheitlich gegenüber der CP bevorzugt (sondern umgekehrt). Wir halten fest: Die Präferenz eines Einzelnen ist transitiv, die kollektive Präferenz ist jedoch intransitiv.

Analyse

Die Nichtkenntnis dieses Paradoxons kann zu irreführenden Wahlergebnissen führen. Ließe man zum Beispiel zuerst zwischen der AP und der BP und anschließend zwischem dem Sieger und der CP abstimmen, so siegte zuerst die AP über die BP, womit letztere aus der Wahl ausschiede, und anschließend siegte die CP über die AP. Somit wäre die CP der Sieger der Wahl, obwohl es überhaupt keine Mehrheit gibt, die die CP gegenüber den anderen beiden Parteien präferiert. Kommt man auf das Schnick-Schnack-Schnuck-Beispiel von oben zurück, dann ergibt sich der analoge Fall, wenn jeder von drei Spielern ein anderes der drei Zeichen genommen hat. Vergleicht man nun zuerst die Zeichen der zwei ersten Spieler und dann das Zeichen des Gewinners mit dem des dritten Spielers, so gewinnt immer der dritte Spieler.

Aussage

Currys Paradoxon habe ich bereits im vor3letzten Beitrag vorgestellt. Ich zitiere:

Curry zeigt, wie man durch ein paar einfa­che Um­formun­gen ei­ne be­liebige, auch noch so ab­surde, Aus­sage beweisen kann.
Sei dazu un­se­re Bei­spiel­aus­sage A: Kamele können fliegen. Die­se bet­ten wir ein in ei­ne an­de­re Aus­sage S: Wenn die­ser Satz wahr ist, dann können Kamele fliegen. Dann gilt offensichtlich S = (S ⇒ A). Mit diesem Wis­sen können wir zu­nächst S beweisen:
1 = (S ⇒ S) = (S ⇒ (S ⇒ A)) = (S ⇒ A) = S.
Und mit der Gültigkeit von S folgt 1 = (1 ⇒ A) und somit auch die Gültigkeit von A. Das Para­doxon ergibt sich, wenn man A = 0 (die unmögli­che Aus­sage) setzt, denn damit bekommt man 1 = (1 ⇒ 0) = 0, ei­nen Wider­spruch.
A ⇒ B bedeutet dabei A impliziert B oder auch B folgt aus A. 1 steht für wahr und 0 steht für falsch.

Analyse

Das Paradoxe, jede Aussage beweisen zu können, kann verschieden aufgelöst werden. Im Folgenden seien zwei Möglichkeiten vorgestellt. Die erste ist für alle, die zweite nur für Semantiker.

  1. Das Paradoxon entsteht offenbar aus dem metasprachlichen Selbstbezug dieser Satz in S. Mit einer Metasprache spricht man über eine Objektsprache. Der Satz Kamele können fliegen ist objektsprachlich, d. h. wir können ihm eindeutig einen Wahrheitswert zuordnen, sofern wir alle Kamele und alle fliegenden Dinge kennen. Wenn man über Wörter oder Sätze selbst redet, dann verwendet man Metasprache: Kamele ist ein Substantiv. und Kamele können fliegen ist ein wahrer Satz. sind metasprachlich. So ist auch Dieser Satz ist ein wahrer Satz metasprachlich, nur, dass er sich auf sich selbst bezieht. Wenn wir nun in unserer Logik metasprachliche Ausdrücke verbieten, dann entsteht auch das Paradoxon nicht.
  2. Die Frage, ob S⇒A gilt, kann man mit der Mögliche-Welten-Theorie betrachten. Eine Belegung sei 𝒜=(𝒰,𝒥) mit dem Universum 𝒰 und der Interpretation 𝒥=(W,N,[ ],f). Dabei sei W eine Menge von Welten, N⊆W die Teilmenge der normalen Welten, [ ]:{A,B,…}→𝒫(W) eine Funktion, die jedem Satz S∈{A,B,…} die Menge von Welten zuweist, in denen S wahr ist, und f:𝒫(W)×𝒫(W)→𝒫(NN) eine Funktion, die jedem (geordneten) Paar ([A],[B]) eine Teilmenge von nichtnormalen Welten zuweist, wobei NN=W\N. [ ] sei nun induktiv definiert als ∀A,B:
    • [A∧B]=[A]∩[B]
    • [A∨B]=[A]∪[B]
    • [A⇒B]=N∪NN, wobei N=W, falls [A]⊂[B], und sonst N=∅ sowie NN=f([A],[B])
    S⇒A sei nun gültig gdw. ∀𝒥i:∀N∈Ni:N⊨(S⇒A), d. h. gdw. S⇒A in den normalen Welten aller Interpretationen wahr ist. Betrachten wir als Einziges die Sätze S und A, dann kann es vier mögliche Welten geben, da S und A jeweils 0 oder 1 sein können. Somit kann es 16 verschiedene Wis geben. In vier Fällen ist Ni=Wi und zwar genau dann, wenn S in weniger Welten aus Wi wahr ist als A. Dies ist dann der Fall, wenn Wi nur Welten enthält, die S den Wert 0 oder A den Wert 1 zuweisen. In den anderen 12 Fällen ist N=∅ und aus der leeren Menge folgt ja bekanntlich alles.
    Nachzulesen ist das Ganze in der Stanford Encyclopedia of Philosophy unter Curry's Paradox \ 3.2 A simple non-normal worlds solution und hier gibt es ein PHP-Skript von mir, dass alle normalen Welten für S⇒A ausgibt.


Montag, 15. August 2016

Paradoxa: B


Deutsch

Wie versprochen geht es heute weiter im Paradoxa-ABC. Ich versuche hier, die Analysen nicht zu verkomplizieren; ob mir das immer glückt, wage ich zu bezweifeln. Trotzdem, vielleicht ist ja für den einen oder die andere – Na, ist das nicht schön gegendert? – was Interessantes dabei.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Ein Barbier sei jemand, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. – Rasiert der Barbier sich selbst?

  • Falls nein: Dann gehört er zu jenen, die sich nicht selbst rasieren, und wird somit vom Barbier, also sich selbst, rasiert. ↯
  • Falls ja: Dann gehört er zu jenen, die sich selbst rasieren, und wird somit nicht vom Barbier, also sich selbst, rasiert. ↯
Beide Aussagen stellen einen Widerspruch dar: Offensichtlich rasiert sich der Barbier selbst gdw. sich der Barbier nicht selbst rasiert.

Analyse

Eine prädikatenlogische Analyse zeigt, dass es keinen Barbier nach obiger Definition geben kann. Zunächst wurde ein Barbier definiert:

Barbier(x)y:(rasiert(x,y)¬rasiert(y,y))
Lies: x ist Barbier gdw. für alle y: x rasiert y gdw. nicht y rasiert y
Außerdem wissen wir, dass es niemanden gibt, der sich gleichzeitig rasieren und nicht rasieren kann:
¬x:(rasiert(x,x)¬rasiert(x,x))
Diese Formel können wir nun umformen:
¬x:(rasiert(x,x)¬rasiert(x,x))
x:¬(rasiert(x,x)¬rasiert(x,x))
x:y:¬(rasiert(x,y)¬rasiert(y,y))
x:¬y:(rasiert(x,y)¬rasiert(y,y))
x:¬Barbier(x)
¬x:Barbier(x)
Legende

∀ … für alle
∃ … existiert
¬ … nicht
⇔ … gdw.

Barbier(x) … x ist Barbier
rasiert(x,y) … x rasiert y
Da aus der im Paradoxon verwendeten Definition für Barbiere folgt, dass es keine Barbiere gibt, kann man das Paradoxon nur auflösen, indem man eine andere Definition wählt. Zum Beispiel: Ein Barbier sei jemand, der – ausgenommen sich selbst – all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Außerdem rasiert er sich selbst.
Das Barbier-Paradoxon ist eine Konkretion des Russell’schen Paradoxons, welches etwas allgemeiner formuliert ist: Sei R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. – Enthält R sich selbst? Analog zum Barbier-Paradoxon kann nachgewiesen werden, dass es keine solche Menge R gibt.

Aussage

  1. Massen ziehen sich durch Gravitationskräfte gegenseitig an.
  2. Auch die Sterne im Weltall ziehen sich gegenseitig an.
  3. Trotzdem fallen die Sterne nicht in einen zentralen Punkt zusammen.
Theoretisch müssten die Sterne im Weltall aufgrund ihrer Gravitation zusammenfallen.

Analyse

Das Paradoxon wurde im 17. Jahrhundert von Richard Bentley formuliert, nachdem Isaac Newton seine Gravitationstheorie veröffentlicht hatte, welche u. a. besagt, dass sich Massen gegenseitig anziehen. Newton selbst erwiderte auf das Paradoxon, dass Gott den Kollaps des Universums verhindern würde, indem er immer wieder minimale Korrekturen an den Sternpositionen durchführe. Für die damalige Zeit mag das eine akzeptable Lösung für das Paradoxon gewesen sein, doch mit dem erweiterten Kenntnisstand über das Universum von heute kann man eine wissenschaftlichere Antwort geben: Es stimmt, dass sich Massen gegenseitig anziehen und die Bewegungen der Himmelskörper durch Gravitationskräfte beeinflusst werden, doch letztlich wird ein Kollaps des Universums durch dessen Ausdehnung verhindert. So entfernen sich weit entfernte Himmelskörper, zwischen denen so gut wie keine Anziehungskräfte wirken, immer weiter voneinander.

Aussage

Man stelle sich einen hungrigen Esel zwischen zwei gleich weit entfernten und absolut identischen Heuhaufen vor. Da sich der Esel nicht entscheiden kann, welchen von beiden er zuerst fressen soll, verhungert er.

Analyse

Das Paradoxon gibt es in verschiedenen Versionen, z. B. auch mit einem Durstigen und zwei Gläsern voll Wasser, einem Wanderer an einer Weggabelung oder einer Ehebrecherin, die sich nicht zwischen ihrem Mann und ihrem unwissenden Liebhaber entscheiden kann. Die grundlegende Frage ist, ob man in der Lage wäre, zwischen zwei völlig oder nahezu identischen Alternativen eine auszuwählen, oder ob man in eine Verklemmung geraten würde, bis eine der Alternativen sich von der anderen unterscheiden lässt oder sich das Problem von selbst löst.
Die programmatische Lösung ist, eine Vorgehensweise für solch einen Fall festzulegen: Nimm immer die erste Alternative! oder Wähle zufällig eine der Alternativen aus! Ein Mensch würde vermutlich versuchen, einen Unterschied zwischen den beiden Alternativen zu finden, und, falls das nicht gelingt, ebenfalls so vorgehen. Eine weitere Option ist es, eine dritte Alternative zu suchen, auch wenn diese schlechter ist als die ersten beiden. So könnte der Wanderer auch einfach den Weg zurücklaufen, den er gekommen ist.


Freitag, 12. August 2016

Relikt aus vergangenen Zeiten
 Relic of bygone times


DeutschEnglish

For good results in the development of the political work in the ground organisation

district savings bank

B e e r
Secretary
for Economic Policy




Neustrelitz, 30/10/1973

Von meinem Urlaub in der Nähe des mecklenburgischen Neustrelitz’ habe ich ein Buch mitgebracht, dass auf dem Dachboden einer Dorfkirche zwischen lauter anderen Büchern versteckt war und alt genug ist, dass es noch nicht mal eine ISBN hat. Ich habe keine Ahnung, wem es früher gehört hat oder wie es dorthin gekommen ist, aber vorne lag der oben eingescannte Zettel drinne. Offensichtlich wurde das Buch als Auszeichnungspreis übergeben; und zwar von Sekretär Beer, den ich nach einer Google-Recherche als den DDR-Politiker Ernst-Walter Beer (1910 – 1980) ausmachen konnte. Ich habe einen kleinen Lebenslauf dieses mir bis dato unbekannten Mannes zusammengestellt:

      1910
Geburt in Thein, damals Habsburgermonarchie, später ČSR

      1927
Beitritt zur DSAP

      1928
Beitritt zur KPČ

   ab 1938
Wehr-/Kriegsdienst und Verwundung im 2. Weltkrieg

 nach 1945
Neubauer

      1948
Beitritt zur DBD

 1949-1952
DBD-Landesvorsitzender in Mecklenburg

 1950-1952
Landesminister ohne Geschäftsbereich

   ab 1952
stellv. Vorsitzender des Rates des Bezirkes Neubrandenburg

 1952-1955
DBD-Vorsitzender des Bezirksvorstandes Neubrandenburg

   ab 1954
Mitglied des Bezirkstages Neubrandenburg

      1956
Parteiaustritt aufgrund nachgewiesener NS-Vergangenheit

    später
Flucht nach Westdeutschland

      1980
Tod in Stahnsdorf

Quellen: Wikipedia und MV-Data. Die biografische Datenbank.

Warum? Weil ich es erstaunlich finde, wie uns Überbleibsel von Früher dazu bringen können, auch die kleineren historischen Begebenheiten und insbesondere Einzelschicksale nachzulesen. Natürlich wäre die Geschichte des früheren Buchbesitzers auch mal sehr spannend.

I brought a book with me from my vacation nearby the Mecklenburgian Neustrelitz, which was hidden under the roof of a village’s church in-between a lot of other books and is old enough to even not have an ISBN. I have no idea, who was its owner or how it came to that place, but inside there was the scanned slip of paper from above. Apparently, the book was handed over as a honouring prize; namely by Secretary Beer (IPA: be:r, not bɪə), whom I could identify as the GDR politician Ernst-Walter Beer (1910 – 1980). I constructed a little curriculum vitae of this man, who was unknown to me till today:

      1910
birth in Thein, at that time Habsburg Monarchy, later ČSR

      1927
joining the DSAP

      1928
joining the KSČ

since 1938
military/war service and wounded in World War II

after 1945
new farmer

      1948
joining the DBD

 1949-1952
DBD state chairman in Mecklenburg

 1950-1952
state minister without portfolio

since 1952
deputy chairman of the district council in Neubrandenburg

 1952-1955
DBD chairman of the district executive in Neubrandenburg

since 1954
member of the district assembly in Neubrandenburg

      1956
leaving the party due to ascertained Nazi background

     later
escape to West Germany

      1980
death in Stahnsdorf

Sources: Wikipedia and MV-Data. The biografic Database.

Why? Because I think it is amazing, how leftovers of former times can make us look up the smaller historical incidents and especially individual life stories, too. Of course, the story of the former book owner would be very intersting as well.

Montag, 8. August 2016

Paradoxa: A


Deutsch

Hallo liebe Blogleser,

meine Untätigkeit in letzter und die Absetzung der Monatsgedichte vor längerer Zeit möchte ich nun mit einer neuen, wöchentlichen Reihe wettmachen. Jeden Montag soll es eine Vorstellung dreier Paradoxa geben.
Ein Paradoxon ist, lt. Duden, eine scheinbar unsinnige, falsche Behauptung, Aussage, die aber bei genauerer Analyse auf eine höhere Wahrheit hinweist.
Woche für Woche werden wir uns durch das Alphabet der Paradoxa arbeiten und ich werde sowohl die Aussagen als auch die Analysen der Paradoxa präsentieren.
An dieser Stelle möchte ich noch einmal darauf hinweisen, dass man meinem Blog per E-Mail folgen kann. Dazu einfach am rechten Rand im Feld E-Mail folgen eine E-Mail-Adresse eingeben und bestätigen.

Nun denn, genug gefaselt,
Frohes Hirnzermartern!

Aussage

Niemand ist hier. Denn:

  1. Jede Person ist entweder nicht in Rom oder nicht in Peking.
  2. Folglich ist sie woanders.
  3. Wenn sie woanders ist, ist sie nicht hier.

Analyse

Die Aussage Niemand ist hier ist deshalb paradox, weil sie offensichtlich falsch ist: hier ist ja gerade dort, wo ich bin, also gilt immer Ich bin hier und somit Jemand ist hier. Es gibt einen Fehler im Beweis: Stellen wir uns die Welt als aus vielen einzelnen Punkten bestehend vor. Ein Punkt sei Rom, ein anderer Punkt sei Peking und ein dritter Punkt sei hier. Woanders ist immer abhängig von einem bestimmten Punkt. Wissen wir von einer Person, dass sie nicht in Rom ist, dann wissen wir dass sie an irgendeinem anderen Punkt der Welt sein muss und bezeichnen die Menge dieser möglichen Punkte als woanders (= alle Punkte außer Rom). Analoges gilt für woanders (= alle Punkte außer Peking) und woanders (= alle Punkte außer hier). Das Abwesenheitsparadoxon entsteht, weil die beiden woanderss in 2. und 3. gleichgesetzt werden, nämlich auf alle Punkte außer hier. In 2. ist allerdings entweder alle Punkte außer Rom oder alle Punkte außer Peking gemeint und diese schließen die Anwesenheit am Punkt hier nicht aus, da er in alle Punkte außer [entweder Rom oder Peking] enthalten ist.

Aussage

Angenommen, es gibt ein allmächtiges Wesen. Kann dieses allmächtige Wesen einen so schweren Stein erschaffen, dass es ihn selbst nicht hochheben kann?

  • Falls nein: Dann ist das Wesen nicht allmächtig, weil es den Stein nicht erschaffen kann.
  • Falls ja: Dann ist das Wesen nicht allmächtig, weil es den Stein nicht hochheben kann.
Folglich kann es kein allmächtiges Wesen geben.

Analyse

Das Paradoxon kann verschiedentlich aufgelöst werden, was mit den vielen Bedeutungsnuancen von Allmacht zusammenhängt. Im Folgenden seien nur vier davon aufgeführt:

  1. Y ist allmächtig ⇔ Y kann (jedes) X tun gdw. X logisch möglich ist: Sei X = einen Stein schaffen, den man selbst nicht hochheben kann. Da X für ein allmächtiges Wesen logisch unmöglich ist, muss dieses nicht X tun können und kann trotzdem allmächtig sein. Allerdings kann ein Steinmetz ohne Probleme X tun und es ist schon komisch, dass ein nichtallmächtiger Steinmetz etwas kann, das ein allmächtiges Wesen nicht kann.
  2. Y ist allmächtig ⇔ Y kann (jedes) X tun gdw. X logisch sinnvoll ist: Diese Definition zielt darauf ab, dass es einfach unsinnig ist, von einem allmächtigen Wesen zu verlangen, einen Stein zu schaffen, den es selbst nicht hochheben kann, da diese Fähigkeit nicht logisch sinnvoll ist, d. h. sie ist Unsinn.
    1. und 2. führen also zu dem Ergebnis, dass ein Wesen allmächtig sein kann, auch ohne dass es die fragliche Steinerschaffeigenschaft besitzt. 3. und 4. stellen Allmachtdefinitionen vor, nach denen ein allmächtiges Wesen sehr wohl dazu in der Lage sein kann.
  3. Y ist (abdingbar) allmächtig ⇔ Y kann (jedes) X tun und dadurch evtl. seine Allmacht verlieren: Wenn ein allmächtiges Wesen einen fraglichen Stein erschafft, dann verliert es dadurch eben seine Allmächtigkeit. Man könnte allerdings argumentieren, dass dieses Wesen vorher gar nicht allmächtig gewesen sein kann, weil es nicht in der Lage war, gleichzeitig seine Allmacht zu verlieren und zu behalten.
  4. Y ist (absolut) allmächtig ⇔ Y kann (jedes) X tun: Hierbei kann X auch logisch unmöglich sein, z. B. X = ein Dreieck erschaffen, dessen Innenwinkelsumme nicht 180° ist. Absolute Allmächtigkeit befähigt also auch, die Regeln der Logik nach Belieben zu ändern. Ein allmächtiges Wesen könnte demnach in der Lage sein, einen unhebbaren Stein zu erschaffen und diesen dennoch hochzuheben. Das Allmachtsparadoxon in seiner Logik wäre hierbei also nicht mehr anwendbar, um die Nichtexistenz eines allmächtigen Wesens zu beweisen.

Aussage

Man stelle sich eine Ameise vor, die vom Anfang zum Ende eines 1 km langen Gummibands krabbeln möchte. Sie bewegt sich dabei kontinuierlich mit 1 cm/s, doch in dem Moment, in dem sie mit dem Krabbeln anfängt, beginnt auch das Gummiband, sich gleichmäßig mit 1 km/s zu strecken. Wird die Ameise jemals das Ende des Gummibands erreichen? – Paradoxerweise: Ja!

Analyse

Da sich das Gummiband mit der 10.0000-fachen Geschwindigkeit der Ameise ausdehnt, kann man sich nur schwer vorstellen, dass diese jemals das Ende erreichen wird. Doch schauen wir einmal genauer hin: Nehmen wir an, dass die Ameise bereits x% des Gummibands geschafft hat und eine Pause einlegt. Dann bedeutet das, dass die Ameise das Band in zwei Teile a und b teilt, für die gilt a/(a+b)=x%, d. h. das Verhältnis der geschafften Strecke zur Gesamtstrecke ist x%. Dehnt sich nun das Band, dann dehnen sich sowohl a als auch b und da sich das Band überall gleich dehnt, bleibt auch das Verhältnis a/(a+b) gleich, nämlich x%. Die Ameise kann also pausieren, so lange sie nur möchte, sie wird immer bei x% des Bands bleiben. Nun pausiert die Ameise aber nicht, sondern sie läuft und läuft und läuft. Das Verhältnis von geschaffter Strecke zur Gesamtstrecke a/(a+b) wird somit immer größer und schließlich 100%.
Da sich die absolute noch zu krabbelnde Strecke stetig vergrößert, dauert es praktisch gesehen natürlich trotzdem sehr, sehr lange, bis die Ameise am Ende des Bands angelangt. Wie lange genau es dauert, kann man ausrechnen:

solve(Σi=1sx1cm1km+i1kms=100%,x)2,81043429s
Man sollte gar nicht erst versuchen, sich diese Zahl irgendwie vorzustellen. Zum Vergleich: Das Universum ist etwas älter als 4⋅1017 s.


Donnerstag, 21. Juli 2016

Mischmasch-Wirrwarr #5


Deutsch

Da ich so lange nichts ge­schrie­ben habe, kommt heu­te mal mei­ne abge­arbeite­te Themchen­liste. Heu­te tritt stark die ma­the­mati­sche Lingu­is­tik auf den Plan. Dafür gibt’s wieder ein Aus­klappmenü. Viel Spaß!












[1]Die Übersetzung Mit­strei­ter wäre daher m. E. passen­der.
[2]Auf Latein sollte man auf­pas­sen, dass man das R in chili cum ca(r)ne nicht vergisst ...
[3]Solda­ten sind mir als einzige Gruppe in den Sinn gekommen, bei der man ste­reotypi­scherweise glei­chermaßen erwartet, dass ihre Mit­glieder taumeln oder torkeln.
[4]sie­he der Soldat taumelte und der Soldat torkelte, abgeru­fen am 19. Juli 2016
[5]P(Wort|Kategorie) bedeu­tet: die Wahr­scheinlichkeit, dass das Wort (also taumeln bzw. torkeln) verwendet wird, um ei­ne gegebe­ne Kategorie (also Alkohol oder ¬ Alkohol) aus­zudrü­c­ken
[6]P(Kategorie|Wort) bedeu­tet: die Wahr­scheinlichkeit, dass ei­ne Kategorie (also Alkohol bzw. ¬ Alkohol) aus­gedrückt wurde, wenn ein be­stimmtes Wort (also taumeln oder torkeln) verwendet wurde
[7]Nach dem römi­schen Got­te des Anfangs und des En­des Ja­nus. – Da fällt mir ein, dass Ja­nus auch auf der Ab­stimmungs­liste des Spiegels für den Namen des vermu­te­ten neun­ten Plane­ten stand und sogar zwei­ter gewor­den ist. (Hier kann man sogar noch ab­stimm­ten.)
[8]klei­ne Wör­ter helfen beim Disambiguie­ren: Das sollte ich so las­sen. vs. Das sollte ich lieber las­sen.
[9]Bei irre wis­sen wir im Normalfall sofort, was gemeint ist, wenn wir uns den Äuße­rer des Sat­zes an­schauen: Ist er oder sie re­lativ alt, so ist irre vermutlich negativ gemeint; ist er oder sie re­lativ jung, so ist es vermutlich positiv gemeint. Das liegt daran, dass es im­mer ei­ne mehr oder we­ni­ger kurze Übergangs­zeit gibt, wenn Wör­ter ihre Bedeu­tung umkeh­ren, in wel­cher dann bei­de Bedeu­tun­gen ge­braucht wer­den, nur eben von ver­schiede­nen Ge­ne­rationen. Bei schlecht ist der Pro­zess be­reits abge­schlos­sen; niemand benutzt es heu­te mehr in der ur­sprüngl­i­chen Bedeu­tung schlicht, einfach, gut.
[10]Die Zwei­deutigkeit ent­steht durch die bei­den Bedeu­tun­gen der Vorsilbe un-, wel­che im Deut­schen sowohl die Negati­on (Unmensch, Unheil etc. ) als auch den Augmentativ, d. h. die Vergrößerungs­form, (Unmenge, Un­summe) bilden kann.
[11]Die Vorsilbe in- bedeu­tet im Eng­li­schen sowohl ent- als auch un-.
[12]Wer auch Para­doxa mag, sei auf­gefordert, sich mal an mei­nem Browser­spiel Seven Doors II: Para­dox zu versu­chen.
[13]Das Bei­spiel ist von hier geklaut, s. Beweis durch Currys Para­doxon. Es gibt auf die­ser Seite auch ei­nen schönen (wenn auch fal­schen) Beweis dafür, dass π = 0 ist, s. dazu Zu zei­gen: Jeder Kreis hat ei­nen Fläc­hen­inhalt von 0 un­ter Direk­ter Beweis.
[14]Auf die Idee ge­bracht hat mich ein re­lativ neues Pa­pier mit dem Ti­tel An Algorithm for Morpho­logical Segmentati­on of Es­pe­ranto Words von T. Gui­nard, in wel­chem ein Hidden-Markow-Modell genutzt wird, um die wahr­scheinlichste Segmentati­on zu be­stimmen. Da ich jedoch alle Segmentationen aus­ge­ben möch­te und mir Wahr­scheinlichkei­ten vor­erst nicht so wichtig sind, reicht auch ein end­li­cher Automat.
[15]Ein end­li­cher Automat be­steht aus Zustän­den, die durch Zu­standsübergänge mit­ein­an­der ver­bun­den sind. Um die Segmentati­on ei­nen Wortes herauszufin­den, star­ten wir im Startzu­stand (0) und folgen dann den Übergän­gen, indem wir im­mer vor­ne von un­se­rem Wort etwas ab­schnei­den und dieses Stück benut­zen, um in den nächs­ten Zu­stand zu gelan­gen. Dabei erlaubt jeder Übergang nur be­stimmte Stücke. Wenn wir irgendwo nicht weiterkommen, müs­sen wir zurück und ei­nen an­de­ren Weg aus­probie­ren. Ist nichts mehr von un­se­rem Wort üb­rig, muss noch ge­prüft wer­den, ob wir uns in ei­nem Endzu­stand (doppelt ein­gekringelt) befin­den. Nur dann ist die Segmentati­on gültig. Da es für dasselbe Wort meh­re­re Zu­standsket­ten im Automa­ten ge­ben kann, kann es demzufolge auch meh­re­re Segmentationen ge­ben.
[16]Die graphi­sche Dar­stellung ist von der Seite http://hack­ingoff.com/compilers/nfa-to-dfa-conversi­on, auf wel­cher man sich sei­nen endli­chen Automa­ten auch gleich de­termi­nistisch ma­chen las­sen kann. Nur das Ein­gabe­format ist etwas nervig; aber dafür kann man sich ja selbst ei­nen Konver­ter ba­s­teln.