Seiten

  • Startseite
  • Impressum
  • Inhalt
  • MINT
  • Sprache
  • Soziales
  • Geist
  • Kunst
  • Gemischtes
  • Gedichte

Donnerstag, 19. Februar 2015

Eine bijektive Abbildung auf ℚ #2
 A bijective function to ℚ #2


DeutschEnglish

Wie ich im Kom­men­tar vom ur­sprüng­li­chen Bei­trag zu die­sem The­ma schon be­merk­te, ist mei­ne Funk­ti­on da­hin­ge­hend falsch, dass kürz­ba­re Brüche nicht über­sprun­gen wer­den. Ich mein­te dies­bezüglich, dass wir einen Zähler einführen müssen. Und das ha­be ich jetzt auch ge­tan:

n(x)=m(x+k(x))-x

m(x)=  {  x falls ggT(x-a(x),x-b(x))=1
m(x+1) sonst


k(x)=  {  0 falls x=0
∑[ggT(i-a(i),i-b(i))≠1,{i,1,x+n(x-1)}] sonst

Bei der For­mel für g±(x) muss nun je­des Vor­kom­men von x durch x+n(x) er­setzt wer­den.

Für die Um­kehr­funk­ti­on, wel­che natürlich auch verändert wer­den muss, muss ich mir noch was ein­fal­len las­sen.

I already men­tioned in the com­ment of the ori­gin­al post of this top­ic that my func­tion is wrong to the ef­fect that it doesn't skip over re­du­cible frac­tions. I said to that, that we have to define a counter. So I did it:

n(x)=m(x+k(x))-x

m(x)=  {  x if gcd(x-a(x),x-b(x))=1
m(x+1) else


k(x)=  {  0 if x=0
∑[gcd(i-a(i),i-b(i))≠1,{i,1,x+n(x-1)}] else

You then have to re­place every oc­curence of x by x+n(x) in the for­mula g±(x).

I just have to think about a solu­tion for the in­verse func­tion, which cer­tainly has to be changed, too.

Dienstag, 17. Februar 2015

50 Shades Of Angela Merkel


English

After I saw this pic­ture on BuzzFeed I wanted to try out, if there is a de­pend­ing from the col­our of An­gela Merkel's jack­ett on the sea­son. So I made the fol­low­ing dia­gramme:

It shows the col­our (y) de­pend­ing on the month (x). Thereby the blue line marks the av­er­age and the or­ange line the me­di­an of the col­ours worn in a month. One can see that our chan­cel­lor tends to wear col­our­ful out­fits in sum­mer and dark ones in winter. It's like a sinus curve with its maximum in winter and minimum in summer time.

Montag, 16. Februar 2015

Schichtenmodell


Deutsch

Ich wer­fe ein­fach mal ein neu­es Schich­ten­mo­dell in den Raum: Die Ein­tei­lung der Bevölke­rung in vier Schich­ten, nämlich
  1. die tra­gen­de Schicht,
  2. die vor­an­trei­ben­de Schicht,
  3. die un­ter­hal­ten­de Schicht und – dank ei­nem freund­li­chen Hin­weis hier auch auf­geführt –
  4. die nicht­ar­bei­ten­de Schicht.
Die­se Be­grif­fe sol­len wert­neu­tral sein, sie be­schrei­ben mei­ner Mei­nung nach am bes­ten, was ich mei­ne. Denn die­se Schich­ten tei­len nicht nach Ein­kom­men, Bil­dung, Macht o. ä., son­dern nach Be­rufs­grup­pen ein. D. h. in
  1. Be­rufs­grup­pen, die für das Funk­tio­nie­ren der Ge­sell­schaft sor­gen, wie bspw. Bau­ar­bei­ter, Po­li­zis­ten, Leh­rer usw.,
  2. Be­rufs­grup­pen, die für den Fort­schritt der Ge­sell­schaft sor­gen, wie bspw. Wis­sen­schaft­ler, Er­fin­der, Po­li­ti­ker usw.,
  3. Be­rufs­grup­pen, die für die Un­ter­hal­tung der Ge­sell­schaft sor­gen, wie bspw. Schau­spie­ler, Sport­ler, Ma­ler usw. und
  4. Leu­te, die kei­nen Be­ruf ha­ben, wie bspw. Bett­ler, Räuber, Hart­zer usw.
Da die Ein­tei­lung nach Be­rufs­grup­pen er­folgt, ist es nicht sinn­voll, Men­schen, die ge­ra­de ei­ne Aus­bil­dung ma­chen, ein­zu­tei­len, auch nicht in die vier­te Schicht. Von mir aus kann man halt noch ei­ne fünf­te Schicht da­zu­neh­men.
Ich ha­be bis jetzt noch nie­man­den ge­fun­den, der sich nicht in ei­ner der Grup­pen ein­tei­len ließe. Ich ver­wen­de hier zwar den Be­griff Schicht, um es von an­de­ren Ein­tei­lun­gen wie Klas­se, Kas­te, Stand und Mi­lieu ab­zu­gren­zen, trotz­dem kann man sich die­se Ein­tei­lung nicht wie ei­ne Über­ein­an­der­schich­tung vor­stel­len, son­dern soll­te es eher wie einen für die Ge­sell­schaft ste­hen­den Ku­chen be­trach­ten, der in vier (nicht zwin­gend gleich­große) Tei­le ge­schnit­ten wird.
Die Sa­che ist, dass so ein Schich­ten­mo­dell jetzt ei­ni­ge Fra­gen auf­wirft: Sind man­che Schich­ten wich­ti­ger als an­de­re oder braucht man man­che gar nicht? Wel­che Schicht(en) soll­te(n) die Macht ha­ben? Wie groß sind die Ab­gren­zun­gen, wie klein die Über­lap­pun­gen zwi­schen ih­nen? Wie neh­men die Leu­te der ein­zel­nen Schich­ten ein­an­der und die Leu­te an­de­rer Schich­ten wahr (Zu­sam­men­gehörig­keit/An­ders­heit)? Ich will im Nach­fol­gen­den ein paar die­ser Fra­gen aus dem Bauche her­aus be­ant­wor­ten.

Wich­tig­keit der Schich­ten

Die ers­te Schicht ist die größte und mei­ner Mei­nung nach wich­tigs­te. Oh­ne sie würde die In­fra­struk­tur zu­sam­men­bre­chen. Vie­le Ers­te-Welt-Staa­ten be­sit­zen heut­zu­ta­ge ei­ne Dienst­leis­tungs­ge­sell­schaft bzw. ha­ben ei­ne un­verhält­nismäßig große zwei­te Schicht. Des­halb be­dient sich Deutsch­land z. B. pol­ni­scher Gast­ar­bei­ter. An­ders­her­um leiht sich Po­len aber kei­ne Gast­wis­sen­schaft­ler oder der­glei­chen, wor­an zu er­ken­nen ist, dass die ers­te Schicht wich­ti­ger für den Er­halt, d. h. das Funk­tio­nie­ren ist, und so ha­be ich sie ja auch de­fi­niert.
Die zwei­te Schicht hin­ge­gen ar­bei­tet in die Zu­kunft. Es lässt sich natürlich darüber strei­ten, ob wir die­se Ent­wick­lung brau­chen. Brau­chen wir um­welt­freund­li­che­ren Treib­stoff? Brau­chen wir neue Ge­set­ze oder doch lie­ber wie­der die al­ten? Aber ge­hen wir et­was in der Zeit zurück, dann lau­ten die Fra­gen schon an­ders: Brau­chen wir Strom? Brau­chen wir das Rad? Natürlich hat die Ge­sell­schaft im­mer schon vor­her funk­tio­niert, aber hin­ter­her eben bes­ser. Man­che Ent­wick­lun­gen gin­gen auch schief, aber Feh­ler ma­chen die Men­schen al­ler Schich­ten.
Die drit­te Schicht un­terhält die an­de­ren. Dafür, dass sie nichts wei­ter tun, sind die An­gehöri­gen die­ser Schicht mei­ner Mei­nung nach zu gut be­zahlt. Denn brau­chen wir wirk­lich Fußbal­ler und Kom­po­nis­ten? Natürlich brau­chen wir die! Wie eintönig wäre sonst un­se­re Ge­sell­schaft? Die Ge­sell­schaft würde dann zwar noch funk­tio­nie­ren, aber wenn es kei­ne Schicht gäbe, die die Frei­zeit der an­de­ren ge­stal­tet, dann würde die Ar­beits­mo­ral und die gu­te Lau­ne ver­mut­lich sehr schnell fal­len.
Die vier­te Schicht wird im Prin­zip aus al­len ge­bil­det, die sich in kei­ne der an­de­ren ein­ord­nen las­sen. Ich hof­fe, dass das jetzt nie­mand in den falschen Hals kriegt, wenn ich sa­ge, dass wir kei­ne Ar­beits- und Ge­setz­lo­sen brau­chen. Des­halb soll­te die Ge­sell­schaft ver­su­chen, die vier­te Schicht so klein wie möglich zu ma­chen, in­dem sie ih­re An­gehöri­gen in ei­ne der an­de­ren Schich­ten in­te­griert. Und der Wech­sel ist ja fließend leicht: Wer heu­te ein Fußbal­ler ist, der könn­te ja mor­gen schon ein Fußsol­dat sein.
Bis auf die letz­te Schicht sind al­so al­le wich­tig. Wenn man als Maß für Wich­tig­keit den An­teil am Bei­trag zum Er­halt der Ge­sell­schaft nimmt, dann wären die Schich­ten ab­stei­gend von eins bis vier am wich­tigs­ten.

Macht­ver­tei­lung

Da Men­schen un­ter­schied­li­chen Bil­dungs­ab­schlus­ses quer durch die Schich­ten ver­streut sind, kom­me ich hier als über­zeug­ter Tech­no­krat mit der Tech­no­kra­tie als Re­gie­rungs­form nur schwer wei­ter. Tatsächlich ist es in un­se­rer Ge­sell­schaft so, dass die Leu­te Par­tei­en wählen, de­ren Ver­tre­ter dann die Ge­sell­schaft führen. Po­li­ti­ker gehören ja zur zwei­ten Schicht, weil sie für Fort­schritt ar­bei­ten (für die Kon­ser­va­ti­ven: Rück­schritt ist auch nur Fort­schritt mit ei­nem an­de­ren Vor­zei­chen), sie kom­men aber, und das ist wich­tig, ur­sprüng­lich aus ver­schie­de­nen Schich­ten und Strömun­gen, die sie dann ver­tre­ten. Die Macht ist al­so ziem­lich gut auf die Schich­ten bzw. schich­te­nu­n­abhängig ver­teilt. Schich­te­nu­n­abhängig, weil die An­gehöri­gen ei­ner Schicht nicht mit den An­gehöri­gen ei­ner Ideo­lo­gie über­ein­stim­men.

Schnitt­men­gen

Ei­ne Schnitt­men­ge von zwei Schich­ten ent­steht mei­ner Mei­nung nach nur dort, wo ei­ne Per­son meh­re­ren Tätig­kei­ten nach­geht.

Schicht­be­wusst­sein

Da ich die­ses Schich­ten­mo­dell ent­wor­fen ha­be, bin ich mir de­rer sehr wohl be­wusst. Außer­dem den­ke ich manch­mal darüber nach, warum vie­le An­gehöri­ge der tra­gen­den Schicht we­ni­ger Geld be­kom­men als An­gehöri­ge der vor­an­trei­ben­den und un­ter­hal­ten­den Schicht. Warum das so ist, ist natürlich klar; dass das so ist, ist ja ziem­lich un­ge­recht. Und ich kann mir gut vor­stel­len, dass an­de­re Men­schen auch so den­ken, und wenn sie da­bei nicht die­ses Mo­dell im Kopf ha­ben.

Freitag, 13. Februar 2015

Eine bijektive Abbildung auf ℚ
 A bijective function to ℚ


DeutschEnglish

Nachtrag: Die folgenden Überlegungen enthalten einen kleinen Fehler, man sollte daher anschließend den zweiten Teil lesen: Eine bijektive Abbildung auf ℚ #2.

Ei­ne Men­ge M heißt abzähl­bar un­end­lich, wenn es ei­ne bi­jek­ti­ve Ab­bil­dung f:ℕ→M gibt. Wir wis­sen, dass ei­ne Bi­jek­ti­on zwi­schen den natürli­chen Zah­len und den gan­zen Zah­len so­wie ei­ne Bi­jek­ti­on zwi­schen und den ra­tio­na­len Zah­len gibt. Dem­zu­fol­ge gibt es ei­ne Funk­ti­on f, wel­che auf ab­bil­det und de­ren Um­kehr­funk­ti­on f auf ab­bil­det. Und in der Tat, die­se fin­det man leicht:
f(x)=(-1)x⋅⌈x/2⌉

f(x)=|2⋅x|-(x<0)

Wie sieht aber ei­ne ent­spre­chen­de Funk­ti­on g:ℕ→ℚ aus? Da­zu ma­che ich einen Zwi­schen­schritt und su­che zu­erst ein­mal ei­ne bi­jek­ti­ve Ab­bil­dung g+:ℕ→ℚ+. Dass abzähl­bar un­end­lich ist, wis­sen wir, in­dem wir sie in Zei­len und Spal­ten an­ord­nen und dann ein­fach abzählen:

1/11/2 1/31/4 1/5
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5

Ge­sucht ist al­so ei­ne Funk­ti­on, die fol­gen­der­maßen Wer­te zu­weist:
x123456789101112
g+(x)1/11/22/13/12/21/31/42/33/24/15/14/2


Es soll x↦p/q mit p,q∈ℕ sein. Dann kann man die fol­gen­de Ta­bel­le zeich­nen (die Spal­ten für (x-p) und (x-q) brau­chen wir später):

xpq(x-p)(x-q)
11100
21210
32112
43113
52233
61353
71463
82365
93267
104169
1151610
1242810


Es ist leich­ter, ei­ne Funk­ti­on x↦((x-a(x)/(x-b(x))) zu su­chen. Und ich neh­me gleich einen Schritt vor­weg: Wir su­chen ei­ne Funk­ti­on x↦((x-a(x)/(x-b(x)))c(x). Was sind al­so die von x abhängi­gen Kom­po­nen­ten a(x), b(x) und c(x)?

Wir er­hal­ten die Ant­wort, wenn wir uns die Wer­te von (x-p) und (x-q) noch ein­mal ge­nau­er an­se­hen, und fol­gen­de Zu­sam­menhänge er­ken­nen:

x(x-p)(x-q)a(x)b(x)c(x)
10000-1
210101
312121
41331-1
53333-1
65335-1
763631
865651
967671
1069691
11610106-1
12810108-1


Er­klärung: Wenn c(x)=-1, dann wird das Re­zi­pro­ke des Bruchs ge­bil­det, an­sons­ten (bei 1) bleibt der Bruch un­verändert. Durch die­sen Ex­po­nen­ten können wir (x-p) und (x-q) ver­tau­schen und so die Zah­len­rei­hen, wie sie in den Spal­ten a(x) und b(x) ste­hen ein­zeln be­trach­ten. Ge­nau­er ge­sagt brau­chen wir Funk­tio­nen a(x), b(x) und c(x), die die fol­gen­den Wer­te lie­fern:

x123456789101112
a(x)01133366661010
b(x)002135357968
c(x)-111-1-1-11111-1-1

Bei a(x) han­delt es sich um die Fol­ge der größten Drei­ecks­zah­len klei­ner oder gleich (x-1), wo­bei die n-te Drei­ecks­zahl (n+1)-mal hin­ter­ein­an­der ge­schrie­ben wird.[1] Dar­aus er­hal­ten wir die For­mel:

a(x)=1/2⋅⌊(√1+8⋅(x-1)-1)/2⌋⋅⌊(√1+8⋅(x-1)+1)/2⌋


Bei b(x) han­delt es sich um x mi­nus das x-te Ele­ment der Fol­ge von den zei­len­wei­se ge­le­se­nen Zah­len ei­nes Drei­ecks, wo­bei in der n-ten Zei­le die ers­ten n natürli­chen Zah­len ste­hen und in ab­stei­gen­der Rei­hen­fol­ge ge­schrie­ben wer­den.[2] Dar­aus er­hal­ten wir die For­mel:

b(x)=x-1/2⋅(2-2⋅x+[√2⋅x]+[√2⋅x]2),


wo­bei die ecki­gen Klam­mern für kaufmänni­sches Run­den ste­hen. Schließlich brau­chen wir noch c(x), wel­ches ich ein­fach aus­drücke durch:

c(x)=(-1)b(x)-a(x)+1


So­mit ha­ben wir al­le Kom­po­nen­ten für die Ab­bil­dung g+:ℕ→ℚ+ mit x↦((x-a(x)/(x-b(x)))c(x) zu­sam­men. Nun muss die Ab­bil­dung noch von +=ℕ/ℕ auf ℚ=ℤ/ℕ er­wei­tert wer­den. Da­zu ge­hen wir wie bei der Ab­bil­dung f:ℕ→ℤ vor und las­sen das Vor­zei­chen al­ter­nie­ren. Die 0 muss eben­falls noch mit ins Boot ge­holt wer­den:

g(x)=  {   0 falls x=0
-g+((x+1)/2) falls 2∤x
 g+(x/2) sonst


Es fehlt nun noch die Um­kehr­funk­ti­on g:ℚ→ℕ. Da­zu ma­che ich aber­mals einen Zwi­schen­schritt durch g±:ℚ→ℤ. Da­zu stel­len wir uns einen Zah­len­strahl vor:

-2/2-2/1-1/2-1/101/11/22/12/21/32/33/13/2
-4-3-2-1012345678


Dar­aus lässt sich mehr oder we­ni­ger leicht fol­gen­de For­mel ab­le­sen:

g±(x)=(-1)(x<0)⋅  {  ∑[2⋅i-1,{i,1,q(x)-1}]+p(x) falls p(x)<q(x)
∑[2⋅i-1,{i,1,p(x)-1}]+(p(x)-1)+q(x) sonst


Da­bei soll p(x) den Zähler und q(x) den Nen­ner (bei­de vor­zei­chen­los) von x lie­fern. Um den Auf­bau die­ser bei­den Funk­tio­nen soll es nicht wei­ter ge­hen, die unschöne, aber ein­fa­che In­for­ma­ti­ker­va­ri­an­te wäre:

Eingabe als Dezimalzahl:

q(x)=|m/ggT(x⋅m,m)| | m=10len(x-⌊x⌋)-2

p(x)=|x⋅q(x)|

Oder – noch einfacher – Eingabe als Bruch in der Form p/q:

q(x)=x.split("/")[1]

p(x)=x.split("/")[0]


Nun nut­zen wir die Funk­ti­on f vom An­fang, um g:ℚ→ℕ zu er­hal­ten:

g(x)=f(g±(x))


So­mit er­hal­ten wir die Wer­te:

-2/2-2/1-1/2-1/101/11/22/12/21/32/33/13/2
75310246810121416


Al­ler­dings ist dies noch nicht ganz die Ta­bel­le, die wir ha­ben wol­len. Wir ha­ben zwar ei­ne Ab­bil­dung von nach , da­bei han­delt es sich aber nicht um die ge­such­te Um­kehr­funk­ti­on g:ℚ→ℕ, wel­che die fol­gen­den Wer­te ha­ben müss­te:

75310246810121416
-3/1-2/1-1/2-1/101/11/22/13/12/21/31/42/3


An­ders aus­ge­drückt su­chen wir nun noch ei­ne Um­sor­tier­funk­ti­on s:ℕ→ℕ.

xs(x)
1-1/11
21/12
3-1/23
41/24
5-2/15
62/16
7-2/29
82/210
9-1/311
101/312

Die­ses Pro­blem löse ich al­go­rith­misch. Schau­en wir uns noch ein­mal den Weg des Abzählens von + in ei­nem Ko­or­di­na­ten­sys­tem an:

X
y\x012345
012671516
13581417
2491318
3101219
41120
521
          
S
y\x012345
01251017
13461118
27891219
31314151620
421
5


Man erhält die Ko­or­di­na­ten aus X und S zu ei­nem be­stimm­ten Wert x fol­gen­der­maßen aus:

XS
0. x=y=0
1. if(get(x,y)=x)
    return (x,y)
2. //do
   //nothing
3. moveTo(x+1,y)
   do(1.)
4. while(x≠0)
    moveTo(x-1,y+1)
    do(1.)
5. moveTo(x,y+1)
   do(1.)
6. while(y≠0)
    moveTo(x+1,y-1)
    do(1.)
7. goTo(3.)
           0. x=y=0
1. if(get(x,y)=x)
    return (x,y)
2. moveTo(x+1,0)
   do(1.)
3. moveTo(0,y+1)
   do(1.)
4. while(x<y)
    moveTo(x+1,y)
    do(1.)
5. moveTo(x+1,0)
   do(1.)
6. while(y<x-1)
    moveTo(x,y+1)
    do(1.)
7. goTo(3.)


Wir er­hal­ten die Funk­ti­on s(x), in­dem wir x aus dem Sys­tem S auf sei­ne Ent­spre­chung im Sys­tem X ab­bil­den. Un­ter Be­ach­tung des al­ter­nie­ren­den Vor­zei­chens er­gibt sich:

s(x)=2⋅X.get(S.getX(⌈x/2⌉),S.getY(⌈x/2⌉))-(⌈x/2⌉-⌊x/2⌋)

Und somit erhalten wir schließlich:

g(x)=s(f(g±(x)))


Fa­zit: Wir[3] ha­ben ge­zeigt, dass die gan­zen Zah­len und die ra­tio­na­len Zah­len abzähl­bar sind, in­dem wir je­weils ei­ne bi­jek­ti­ve Ab­bil­dung zwi­schen ih­nen und den natürli­chen Zah­len ge­fun­den ha­ben. D. h., dass es je­weils Funk­ti­on gibt, die je­der natürli­chen Zahl ein­ein­deu­tig ei­ne gan­ze Zahl so­wie ei­ne ra­tio­na­le Zahl zu­weist. Oder auch: F:ℕ→ℕ×ℤ×ℚ mit x↦(x,f(x),g(x)); bspw. 3↦(3,-2,-1/2). Eben­so gibt es ent­spre­chen­de Ab­bil­dun­gen G:ℚ→ℕ×ℤ×ℚ und H:ℤ→ℕ×ℤ×ℚ.

Für den CAS-Rech­ner (ich ha­be einen TI-Nspi­re CX) se­hen die For­meln dann so aus:
f(x):
f(x):
a(x):
b(x):
c(x):
g+(x):
g(x):
q(x):
(funktioniert hier nur bis zu drei Nachkommastellen)
p(x):
g±(x):
g(x):
s(x):(dafür reichen meine CAS-Kenntnisse nicht aus)

[1]s. OEIS: A057944
[2]s. OEIS: A004736
[3]Plu­ra­lis Mo­des­tiae be­ach­ten ;-)

Edit: There's a little mistake in this post, you should also read the second part: A bijective function to ℚ #2.

A set S ist called count­ably in­fin­ite if there is a biject­ive func­tion f:ℕ→S. We know that there is a biject­ive func­tion between the nat­ur­al num­bers and the in­teg­ral num­bers and also between and the ra­tion­al num­bers . There­fore there is func­tion f, which maps to and whose in­verse func­tion f maps to . And, in­deed, this func­tion is easy to find:

But how does the sim­il­ar func­tion g:ℕ→ℚ look like? Ther­for I make a in­ter­me­di­ate step and look for the biject­ive func­tion g+:ℕ→ℚ+ first. We know that is count­able, be­cause of we can ar­range them in rows and columns and eas­ily count them:

So we look for a func­tion, which maps the val­ues as fol­lows:

Let x↦p/q with p,q∈ℕ. Then you can draw the fol­low­ing table (the columns for (x-p) and (x-q) we need later):


It is easi­er to search a func­tion x↦((x-a(x)/(x-b(x))). And let me be­fore­hand make this step: We are search­ing a func­tion x↦((x-a(x)/(x-b(x)))c(x). So what are the de­pend­ing on x com­pon­ents a(x), b(x) and c(x)?

We get the an­swer when we have a more in­tens­ive look at the val­ues of (x-p) and (x-q) and see the fol­low­ing co­her­ences:


Ex­plan­a­tion: If c(x)=-1 the frac­tion's re­cip­roc­al is formed, oth­er­wise (c(x)=1) the frac­tion won't be changed. Us­ing this ex­po­nent we can swap (x-p) and (x-q) and sep­ar­ately work with the nu­mer­ic­al series as they are in the columns a(x) and b(x). More pre­cisely, we need func­tions a(x), b(x) and c(x) which map to the fol­low­ing val­ues:


We get a(x) as the largest tri­an­gu­lar num­ber less than or equal to (x-1), wherby the n-th tri­an­gu­lar num­ber is writ­ten n+1 times.[1]


We get b(x) as a tri­angle read by rows, wherby row n lists the first n pos­it­ive in­tegers in de­creas­ing or­der.[2]


The square brack­ets in­dic­ate nor­mal round­ing. Fi­nally we need c(x) which I write as:


So we have all com­pon­ents which we need for the func­tion g+:ℕ→ℚ+ with x↦((x-a(x)/(x-b(x)))c(x) to­geth­er. Now we have to ex­tend the func­tion from +=ℕ/ℕ to ℚ=ℤ/ℕ. Ther­for we do it like with the func­tion f:ℕ→ℤ and let the sign al­tern­ate. The zero has to be in­cluded, too:

At least we are in need for the in­verse func­tion g:ℚ→ℕ. Ther­for I make an in­ter­me­di­ate step again by g±:ℚ→ℤ. Ima­gine a num­ber­line:



This gives us in a more or less easy way the fol­low­ing for­mula:


Thereby p(x) re­turns the nu­mer­at­or and q(x) re­turns the de­nom­in­at­or (both un­signed) of a frac­tion. The work­ing of these two func­tions shall not be of fur­ther in­terest; the nasty, but simple com­puter sci­ent­ist's vari­ant would be:

Now we use the func­tion f(x) of the be­gin­ning to get g:ℚ→ℕ:


There­with we get the val­ues:



But these aren't ex­actly the val­ues, which we want to have. We in­deed have a func­tion from to , but this isn't the in­verse func­tion g:ℚ→ℕ which we are look­ing for. That one should give us the fol­low­ing val­ues:



In oth­er words, we still have to find a re­sort func­tion s:ℕ→ℕ.


This prob­lem I solve al­gorith­mic­ally. Let's have a look at the way of count­ing + in a co­ordin­ate sys­tem again:



You get the co­ordin­ates of a spe­cif­ic value x and the sys­tem X or S do­ing the fol­low­ing:


We get the func­tion s(x) by map­ping x out of S to its equi­val­ent ele­ment in X. With the al­tern­at­ing sign in mind we get:



Con­clu­sion: We[3] il­lus­trated the count­ab­il­ity of the in­teg­ral and ra­tion­al num­bers by find­ing for each one a biject­ive map­ping on the nat­ur­al num­bers. That means that there is a func­tion which maps every nat­ur­al num­ber one-to-one on a in­teg­ral num­ber and a ra­tion­al num­ber. Or also: F:ℕ→ℕ×ℤ×ℚ with x↦(x,f(x),g(x)); e.g. 3↦(3,-2,-1/2). There are also sim­il­ar map­pings G:ℚ→ℕ×ℤ×ℚ and H:ℤ→ℕ×ℤ×ℚ.

These are the for­mu­las in the CAS syn­tax (I've got a TI-Nspire CX):

[1]see OEIS: A057944
[2]see OEIS: A004736
[3]at­ten­tion to the plural­is mod­esti­ae ;-)

Dienstag, 10. Februar 2015

Phonetik #2
 Phonetics #2


DeutschEnglish

In mühe­vol­ler Ar­beit ha­be ich ver­sucht, al­le Be­grif­fe aus der Pho­ne­tik-Vor­le­sung in ei­ner (über­sicht­li­chen) Über­sicht zu ver­ei­nen, und ich den­ke, dass das Er­geb­nis ganz gut ge­lun­gen ist. Falls fach­li­che Feh­ler vor­lie­gen soll­ten, kann man mich in den Kom­men­ta­ren dar­auf hin­wei­sen. Man kann die Ta­bel­le auch als PDF-Da­tei her­un­ter­la­den (da­zu den Ver­weis ankli­cken).

Nach­trag: Ich wur­de dar­auf hin­ge­wie­sen, dass sich der glot­ta­le Ver­schluss­laut (?) an der falschen Stel­le be­fin­det. Natürlich muss er di­rekt über das h zu den an­de­ren Plo­si­ven.



SAMPA-Tabelle
für
Deutsch und Englisch
Anterior (ohne Liquide)
Posterior


Labial
Koronal


Sibilant
(nur Frikative/Affrikate)
bilabial
labiodental
interdental
(*lateral)
alveolar
post-/palato-
alveolar
palatal
velar
uvular
glottal
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
stl.
sth.
Ob-
stru-
ent

K
o
n
s
o
n
a
n
t
Plosiv
p
b




t
d




k
g




stop
Frikativ


f
v
T
D
s
z
S
Z
C

x



h

c
o
n
t
i
n
u
a
n
t
Affrikat
pf





ts
dz
tS
dZ











S
o
n
o
r
a
n
t

Approximant

w

P







j







Liquid







l*











Vibrant







r







R


Tap/Flap







4










Nasal

m





n





N




stop

V
o
k
a
l
Schwa
6
@








[deu]
lang
a
e
i
o
u
E
2
y

kurz
a

I
O
U
E
9
Y
?

stop
[eng]
lang
A

i
O

u

3



kurz
{
e
I
Q
V
U




Vokal: lang [_:], nasaliert [_~]; Konsonant: aspiriert [_h], vokalbildend [=_]


This over­view (see the Ger­man part above) brings all the terms to­geth­er which I had in the phon­et­ics lec­ture. The terms are in Ger­man, but I think they are un­der­stand­able also to Eng­lish speak­ers—even the most of them are equal to the Eng­lish forms. If there are any mis­takes you can cor­rect me in the com­ments. You can down­load the full table as PDF file by click­ing the hy­per­link.

Sonntag, 8. Februar 2015

Das kommunistische Prinzip #3


Deutsch

Für die ers­ten bei­den Teile s. Das kom­mu­nis­ti­sche Prin­zip und Das kom­mu­nis­ti­sche Prin­zip #2.

Der We­cker klin­gelt um halb acht. Ich kann mich nicht dar­an er­in­nern, wie ich ein­ge­schla­fen bin. Ir­gend­wo­her weiß ich, dass heu­te Don­ners­tag ist. – Don­ners­tag, ich kann mich nicht an Mitt­woch er­in­nern. Oder an Diens­tag … – Ich ste­he auf und bli­cke mich in mei­nem Zim­mer um. Das Licht der durch das Fens­ter ein­fal­len­den Son­nen­strah­len fällt auf nichts wei­ter als mein Bett und einen klei­nen Tisch, auf dem der We­cker, ein Bündel Kla­mot­ten und ei­ne Wasch­ta­sche ste­hen. Ich neh­me das über Nacht ge­wa­sche­ne Bündel und klei­de mich an. An­sch­ließend pa­cke ich die Wasch­ta­sche und ver­las­se mei­ne Ba­ra­cke, um ins Bad zu ge­hen. Es ist ein Ge­mein­schafts­bad und ich muss ei­ni­ge Mi­nu­ten war­ten, bis ei­ne Du­sche frei wird. Es ist duns­tig und die Stim­men der an­de­ren – selt­sam ver­trau­te Stim­men – drin­gen nur wie von wei­ter Fer­ne an mein Ohr. Ich be­trach­te mein Ge­sicht im Spie­gel: jung und streng, kei­ne Fal­ten, kei­ne Run­zeln, kei­ne Krat­zer. Ei­ne blon­de Strähne kräuselt sich über die Stirn. Als ich ihr fol­ge, trifft mein Blick den mei­nes Spie­gel­bil­des und ich schaue mir selbst in die Au­gen. – Wer ist die­ses We­sen auf der an­de­ren Sei­te? – Ir­gend­wo patscht es, ich wer­de aus mei­ner Tran­ce ge­ris­sen und der Ge­dan­ke ist ver­flo­gen. Nach dem Zähne­put­zen brin­ge ich mei­ne Wasch­ta­sche zurück in mein Zim­mer und be­ge­be mich in Rich­tung Ver­samm­lungs­haus. Al­le kom­men mor­gens dort­hin. Um acht be­ginnt der Mor­ge­n­ap­pell. Al­le tra­gen die glei­che Uni­form, ha­ben den glei­chen Haar­schnitt, die glei­che Hal­tung, den glei­chen Gang, den glei­chen Ge­sichts­aus­druck. An­sch­ließend lau­fen al­le zu ih­rer Es­sens­aus­ga­be­stel­le. Al­les ist gleich; Tee, ein Brötchen, ein Stück­chen But­ter und ein Stück Scho­ko­la­de. Ich fra­ge, warum es kei­nen Ka­kao gibt, wer­de aber dar­auf hin­ge­wie­sen, dass es noch nie et­was an­de­res als Tee gab. Ich tau­sche mei­ne Scho­ko­la­de bei ei­nem Un­be­kann­ten ge­gen ein Stück­chen But­ter. Ich glau­be, dass ich ihm schon ein­mal ir­gend­wo be­geg­net bin.
Mei­ne Ar­beit be­ginnt um zehn. Ich ar­bei­te als Ma­the­ma­ti­k­leh­rer. Die­se Ar­beit ha­be ich an der Ar­beits­ver­ga­be­stel­le be­kom­men, weil ich gut rech­nen kann. Ich woll­te nie Leh­rer wer­den, aber ich bin gut dar­in, al­so spielt es kei­ne Rol­le. Es ist ja nur für drei Stun­den. Je­der ar­bei­tet nur drei Stun­den am Tag, mehr gibt es nicht zu tun. Und schwupp­di­wupp sind die drei Stun­den auch schon vorüber.
Um eins ge­he ich er­neut zur Es­sens­aus­ga­be­stel­le. Ich es­se al­lein. Aus ir­gend­ei­nem Grund war mir heu­te nicht nach Ge­sell­schaft zu­mu­te. Ich ha­be ein un­be­kann­tes Gefühl. Als ob ich et­was ver­ges­sen oder über­se­hen hätte, et­was, das aber di­rekt vor mir schwebt. Es drückt von in­nen ge­gen mei­nen Kopf und ich ver­su­che, mich dar­auf zu kon­zen­trie­ren. Aber ich kom­me nicht dar­auf.
Um zwei tref­fen sich die Leu­te, die vor­mit­tags ar­bei­ten. Es gibt ei­ne In­struk­ti­on in ein The­ma und an­sch­ließend wer­den Grüpp­chen ge­bil­det, in de­nen man über das The­ma spre­chen soll.
Um vier ist das Tref­fen vor­bei – ich er­in­ne­re mich schon gar nicht mehr dar­an – und bis um sie­ben steht Frei­zeit auf mei­nem Plan. Ich ge­he zu ei­nem Im­biss­stand und ho­le mir einen Tee. Ich fra­ge den Aus­schen­ker nach Ka­kao. Er hat das Wort noch nie gehört. Ich ge­he mit der Tee­scha­le in den Park und set­ze mich auf ei­ne Bank. Da ist es wie­der: In der Ober­fläche des Heißge­tränks se­he ich mein ver­schwom­me­nes Spie­gel­bild. Und zu­gleich kommt das Gefühl wie­der. Ich kann so nicht klar den­ken und sprin­ge auf. Ich ha­be das plötz­li­che Ver­lan­gen, noch ein­mal in einen Spie­gel zu bli­cken. Ich su­che et­was und ma­che schließlich vor ei­ner Glastür halt. Ich be­trach­te mich er­neut, se­he aber noch ge­nau so aus, wie heu­te Mor­gen. – Was soll­te auch an­ders sein? – Ich öff­ne die Glastür und stoße mit mei­nem Spie­gel­bild zu­sam­men. Wir bei­de stürzen rück­lings auf den Bo­den. Es rap­pelt sich zu­erst wie­der auf. Ver­dutzt se­he ich es an. „Hopp­la“, sagt es und reicht mir die Hand. „Hopp­la …“, sa­ge ich als ich sie er­grei­fe. – Wenn es mein Spie­gel­bild ist, warum macht es dann nicht, was ich ma­che? – Es ist schon wie­der weg. Ich bli­cke mich um und stel­le fest, dass ich in einen Frisörsa­lon ge­stol­pert bin. – Dach­te ich „Frisörsa­lon“? Was soll das sein? Ich mein­te „Haar­schnei­de­stel­le“. – Hier hängt ein rich­ti­ger Spie­gel und ich se­he hin­ein. Und ich se­he mich, klar und deut­lich, und hin­ter mir auf ei­nem Stuhl se­he ich … mich … und ihm – mir wer­den die Haa­re ge­schnit­ten von … mir! Es über­kommt mich: Die Stim­men im Bad, die Körper beim Ap­pell, die Ge­sich­ter hin­ter den Schulbänken – al­les mei­ne! Der Un­be­kann­te beim Frühstück, der Tee­aus­schen­ker, mein Spie­gel­bild – al­les ich! Es bricht über mich her­ein wie ein Strom­schlag – ich be­kom­me kei­ne Luft mehr, mir wird schwarz vor Au­gen. So kann ich nicht den­ken! Ich stürze nach draußen: Men­schen über­all – al­les ich! Ich ren­ne über die Straße und höre mich selbst „Vor­sicht“ ru­fen, ich wer­fe einen Fahr­rad­fah­rer um und höre mei­ne ei­ge­nen Kno­chen bre­chen, ich ren­ne und ren­ne – vor­bei an Ab­bil­dern von mir selbst. An Ab­bil­dern? Wo­her weiß ich, dass ich das Ur­bild bin? Ich muss es sein, ich sah schon im­mer so aus und die an­de­ren nicht! – Wirk­lich? Ich kann mich nicht er­in­nern, je­mals ein an­de­res Ge­sicht ge­se­hen zu ha­ben. Mein Kopf raucht, ich hat­te noch nie so vie­le Ge­dan­ken auf ein­mal.
Mei­ne Füße ha­ben mich der­weil zu mei­ner Ba­ra­cke ge­tra­gen. Ich ei­le in mein Zim­mer in der Hoff­nung et­was zu fin­den, ir­gen­det­was, das mir hel­fen könn­te. Doch es ist leer. Gänz­lich leer, aus­geräumt, vier weiße Wände, nicht mal ein Fens­ter und trotz­dem hell. Ich dre­he mich um und öff­ne mei­ne Zim­mertür, nur, um plötz­lich in ei­nem großen, dunklen Saal zu ste­hen. Die Tür hin­ter mir ist ver­schwun­den. Ich bin ein­ge­sperrt. Während ich durch den Saal ren­ne, ha­be ich nur einen Ge­dan­ken: „ICH WILL HIER RAUS! Raus aus die­sem Alb­traum!“ Von al­len Sei­ten ma­che ich näher­kom­men­de Schat­ten aus. Ver­zerr­te Fi­gu­ren, die ih­re Fänge nach mir aus­stre­cken: rechts, links, hin­ter mir, vor mir. Ich ma­che mich dar­auf ge­fasst, die auf mich zu­kom­men­den um­zu­ren­nen und pral­le ge­gen ei­ne Wand. Ich dre­he mich nach rechts: Wand – nach links: Wand – ich ren­ne ein paar Me­ter zurück: Wand. Ich bin ge­fan­gen in ei­nem Spie­gel­ka­bi­nett und die Wände kom­men näher. Gleich ha­ben sie mich! Schal­len­des Gelächter dröhnt von über­all. – Oder ist es Ge­sang? Spre­chen sie mit mir? Oder bil­de ich mir das ein? Bil­de ich mir das al­les nur ein? Ist das re­al? – Bin ich re­al? Wo be­gann der Traum, wo ist mein Körper‽
Jetzt hab ich’s! Das ist kein Gelächter und auch kein Ge­sang, das ist ein …


Der We­cker klin­gelt um halb acht. Es ist Don­ners­tag. – Schon wie­der Don­ners­tag? – Schweißge­ba­det schnel­le ich auf und bli­cke mich in mei­nem Zim­mer um. Das Licht der durch das Fens­ter ein­fal­len­den Son­nen­strah­len fällt auf nichts wei­ter als … – Nein, heu­te ha­be ich kei­ne Lust auf die­sen Quatsch. Warum den­ke ich das über­haupt je­den Mor­gen? Ich wer­fe mir das über Nacht ge­waschene Bün­del Kla­mot­ten über, las­se mei­ne Wasch­ta­sche links lie­gen und stürme nach draußen. Ich will Ant­wor­ten. Es kann ja wohl nicht sein, dass ich dau­ernd Er­in­ne­rungslücken ha­be und es hier je­den Tag an­ders aus­sieht: Erst ist hier al­les men­schen­leer und dann fin­de ich mich un­ter lau­ter Eben­bil­dern wie­der. So ha­be ich das mit der Gleich­heit nicht ver­stan­den, als ich mich für das Pro­gramm ge­mel­det … – ich blei­be wie an­ge­wur­zelt ste­hen und stol­pe­re da­bei fast über mei­ne ei­ge­nen Füße – das Pro­gramm! Ich wer­de ge­packt und zu Bo­den ge­drückt. Ich spüre einen Ein­stich; es ge­lingt mir, mich um­zu­wen­den, und das Letz­te, was ich se­he, sind die großen, lee­ren Au­gen ei­ner Schutz­mas­ke.