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Freitag, 24. Juli 2015

DEA ≟ Petri-Netz


Deutsch

Die Antwort vorneweg: Nein, die Klasse der Petri-Net­ze ist mächti­ger als die der de­termi­nisti­schen endli­chen Automa­ten (DEA). Wären die bei­den Klas­sen äquivalent, dann gälte sowohl DEA ⊆ Petri-Netz als auch DEA ⊇ Petri-Netz; tatsächl­ich gilt aber nur Ers­te­res. D. h., dass man jeden DEA in ein Petri-Netz umwandeln kann, aber nicht umgekehrt. Beweis:
: Sei M = (Z, Σ, δ, z0, F) ein DEA mit der Zu­standsmenge Z, dem Alphabet Σ, der Übergangsfunkti­on δ, dem Startzu­stand z0 und der Endzu­standsmenge F. Damit P = (S, T, A, E, M) das ent­spre­chen­de Petri-Netz ist, set­zen wir hier die Stel­lenmenge S = Z, die Transitionenmenge T = Σ, die Stel­len­ausgangskan­tenmenge A = {δ-1(z) | z ∈ Z}, die Stel­len­ein­gangskan­tenmenge E = {(σ, δ(z, σ)) | σ ∈ Σ, z ∈ Z} und die Start­markierung M mit M(z0) = 1 und M(Z \ {z0}) = {0}.
: Es reicht, ein Gegenbei­spiel anzuge­ben. Das Petri-Netz P = (S, T, A, E, M) mit S = {s0, s1, s2}, T = {a(1), a(2), b(1), b(2)}, A = {(s0, a(1)), (s0, a(2)), (s1, b(1)), (s2, b(2))}, E = {(a(0), s2), (a(1), s0), (a(1), s1), (b(1), s2)} und (M(s0), M(s1), M(s2)) = (1, 0, 0) erkennt die Spra­che L = {anbn | n ≥ 1} Die­se Spra­che ist nicht regulär und kann somit nicht von ei­nem DEA erkannt wer­den.
Q. e. d.
Verweise:
R. Schertle: Struktur und Semantik von Petri-Netzen, 2006, Universität Stuttgart
M. Rücker: Petrinetze in der Schule, 2014, Humboldt-Universität zu Berlin

Dienstag, 21. Juli 2015

Gauß und Szelepcsényi


Deutsch

Auf mei­ner Blog­liste steht schon seit eini­ger Zeit Gauß und Szelepcsényi. Lei­der habe ich kei­ne Ah­nung mehr, worüber ge­nau ich schrei­ben wollte. Gekannt ha­ben sich Carl Gauß († 1855) und Róbert Szelepcsényi (* 1966) si­cher nicht. Wobei die Folge der Geburts- und Sterbeda­ten recht unzufällig er­scheint: 1777, 1855, 1966, ... Falls Szelepcsényi diesen Zu­sammenhang auch festge­stellt hat, dann wird 2044 für ihn wahr­(schein)­lich kein schönes Jahr. Aber wa­rum sollte er diesen überhaupt fest­stel­len? Immerhin muss es ja ei­nen Grund ge­ben, dass man sich ge­rade die­se bei­den Personen an­schaut. In der Tat ver­bindet den deut­schen Ma­the­matiker und den slowaki­schen In­formatiker gar nichts bis auf zwei ziemlich ähnlich klin­gen­de An­ekdo­ten: 1. Um die Schüler zu be­schäftigen, stellte der Leh­rer sei­ner Klasse, in der sich auch der neunjähr­ige Gauß befand, die Auf­gabe, die Summe der Zah­len von 1 bis 100 aus­zurech­nen. Gauß hatte wider Erwar­ten im Nu die richtige Lösung heraus, denn er hatte mal eben die heu­te nach ihm be­nannte Gauß’sche Summen­formel ent­deckt. 2. Szelepcsényi war Student, als sein Pro­fes­sor unver­schäm­ter- (oder vor­ausahnen­der-) -weise ein bis dahin un­gelöst­es Pro­blem der In­formatik, nämlich, ob Typ-1-Spra­chen un­ter Komplement abge­schlos­sen sei­en, als normale Haus­aufgabe auf­gab. Und Szelepcsényi löste dann halt dieses Pro­blem, wor­aufhin der Satz nach ihm und ei­nem amerikani­schen Pro­fes­sor, der es zeitgleich löste, Satz von Immerman und Szelepcsényi be­nannt wurde. Und was lernen wir dar­aus? Vi­elleicht soll­ten wir einfach mal das P-NP-Pro­blem als Hausufgabe auf­ge­ben; junge Talente gibt es im­mer wieder.

Samstag, 18. Juli 2015

Seven Doors II: Paradox


English

The sev­en lev­el brows­er game goes in the sec­ond round. You have to open the correct door of ev­ery lev­el again. Sounds easy, right? Consid­er that this time you don’t have to solve prob­a­bilis­tic prob­lems, but in ev­ery lev­el you will face a paradox.

Don’t change your URL bar dur­ing the game. Don’t use the for­ward and the back­ward but­tons of your browser.

If you want to save the game, you can just copy the full URL and paste it later on.

Edit: You must ac­tiv­ate JavaS­cript for the game.

Edit 2: Click on the title before playing the game.



Sonntag, 12. Juli 2015

Sonnenstrahlen und Biomasse – Wird die Erde schwerer?


Deutsch

Ich ste­cke zwar bis zu den Oh­ren in Prüfungs­vorbe­rei­tun­gen, dennoch habe ich Zeit für ei­nen klei­nen Blogbei­trag ...
Wie es die Überschrift schon verrät, soll es um die Fra­ge gehen, ob die Erde schwe­rer wird. Die­se Fra­ge stel­le ich mir im­mer Zu­sammenhang mit der Tatsa­che, dass wir ver­schiede­ne Erd­schich­ten ha­ben, der Boden also höher wird, indem die al­ten Lebe­wesen (größten­teils Pflan­zen) abster­ben und die neue Boden­schicht bilden, ich aber nicht erkennen kann, dass irgendwo an­ders auf der Erde Masse im Aus­gleich verloren geht. Ich bin kein Exper­te auf diesem Gebiet, aber auch ich kann mir leicht über­legen, dass es für ein eventuel­les Schwe­rer-Wer­den der Erde zwei Haupt­grün­de gibt: 1. Die Erde fängt mit ih­rer großen Masse und der dar­aus resultieren­den Gewichts­kraft aller­lei Himmelskörper ein und 2. (und dar­um soll es heu­te gehen) die irdi­schen Pflan­zen be­trei­ben Fotosyn­the­se, was im Prinzip nichts an­de­res bedeu­tet, als dass sie Sonnen­en­ergie in Biomasse umwandeln. Die allgemei­ne Formel dafür sollte noch aus der Schule bekannt sein:
6H2O + 6CO2 + EC6H12O6 + 6O2
Wasser + Kohlendioxid + EnergieGlucose + Sauerstoff
Der Pro­zess wurde hier ver­bildlicht. Die Pflan­zen zie­hen das Was­ser aus der Erde und wandeln zudem das von Men­schen und Tie­ren aus­geatme­te Koh­lendioxid wieder in fri­schen Sauer­stoff um. All das ändert aber nichts am Gewicht der Erde, da alle die Stoffe schon vorher da wa­ren und es hin­terher im­mer noch sind (sie wur­den lediglich umver­teilt). Allein die Sonnen­en­ergie kommt von außerhalb – wird dann aber in Biomasse umgewandelt (zur Er­innerung: Masse = En­ergie). – Die­se En­ergie bekommen wir zum Bei­spiel zurück, wenn wir Kohle ver­brennen. Die frei­gesetzte En­ergie erhitzt dann die Umgebung und die Asche hin­terher ist leich­ter als die ur­sprüngl­ich vorhan­dene Menge von Kohle.[0] – Doch wie viel Massenzuwachs durch Fotosyn­the­se ha­ben wir denn, sa­gen wir, pro Jahr? Ei­ne Angabe in Gramm, Ki­logramm oder Tonnen (?) wäre doch fein. Dar­um wol­len wir den Biomassenzuwachs jetzt einmal ab­schät­zen (!).
Nach­trag: Durch die En­ergieab­strahlung der Sonne gewinnt nicht nur die Erde an Masse, insbesonde­re hat die Sonne ei­nen Masseverlust. Wie hoch der ist, kann man sich sehr schön hier an­schauen.
Zur Ab­schätzung benut­zen wir die Glei­chung Δm=S⋅A⋅Δt⋅η⋅c-2. Dabei ist S=1367 W/m2 die So­larkon­stante, wel­che uns die über die ganze Welt gemit­telte Sonnen­ein­strahlung angibt, A=510⋅1012 m2 die Erd­ober­fläc­he, Δt=3,16⋅107 s der be­trach­te­te Zeit­raum (ein Jahr), η=6% die fotosyn­the­ti­sche Effizi­enz[1], wel­che angibt, wie viel Pro­zent der einfal­len­den Sonnen­en­ergie tatsächl­ich in Biomasse umgewandelt wird, und c=3⋅108 m/s die Lichtge­schwindigkeit. Wir erhal­ten ei­ne Biomassenzunah­me von etwa Δm=1,5⋅107 kg=15.000 t (pro Jahr bzw. sind das etwa 41 Tonnen pro Tag). Ich habe kei­ne Ah­nung, wie viel ich mit die­ser sim­plen Rech­nung danebenliege. Die Masse der Erde wird allgemein hin mit m=5,97⋅1024 kg beziffert. Be­rech­nen wir den Quo­ti­en­ten aus Massenzunah­me und Ge­samtmasse, so erhal­ten wir nicht mehr als Δm/m=(1,5⋅107)/(5,97⋅1024)=0,00000000000000025%. Der An­teil ist jeden­falls verschwin­dend gering (so gering, dass die Erdmasse gemeinhin als Kon­stante angege­ben wird). Aber er ist da.
Fazit: Die Erde nimmt durch Fotosyn­the­se an (Bio-)­Masse zu. Wir können nun aus­rech­nen, was wohl eher pas­siert (jetzt verlas­sen wir aber allmähl­ich den Boden der wis­senschaftlich fundier­ten Glei­chun­gen und schwin­gen uns in rein hypothe­ti­sche Lüfte): 1. Die Erde nimmt durch Fotosyn­the­se um die Masse des Mon­des zu – oder 2. der Mond fällt uns aus den Kopf. Zu 1.: Wir müs­sen die Glei­chung einfach nach Δt=Δm⋅c2⋅S-1⋅A-1⋅η-1 um­stel­len und erhal­ten, wenn wir für Δm=7,35⋅1022 kg einset­zen, ei­ne Dau­er von etwa Δt=7⋅1016 a (70.000.000 Mil­liar­den Jah­re). – Zur Er­innerung: In nicht einmal 10 Mil­liar­den Jah­ren soll die Sonne explodie­ren – da sie davor allerdings heißer wird, bekommt die Erde auch mehr Sonnen­strahlung ab und somit kann mehr Biomasse erzeugt wer­den ... – Und zu 2.: Die Anziehungs­kraft zwi­schen Erde und Mond ist die Differenz zwi­schen Gewichts­kraft und Trägheits­kraft F=FG-FT=G⋅mE⋅mM⋅r-2-mM⋅4⋅π2⋅r⋅T-2, wobei G=6,67⋅10-11 m3⋅kg-1⋅s-2 die Gravi­tati­ons­kon­stante, mE=5,97⋅1024 kg und mM=7,35⋅1022 kg die Masse von der Erde bzw. vom Mond, r=384,4⋅106 m der Ab­stand zwi­schen den bei­den Himmelskörpern und T=27,32 d=2360448 s die Umlaufzeit des Mon­des (um die Erde) ist. Allerdings ist die­se Differenz F negativ, was bedeu­tet, dass die Trägheits­kraft größer als die Gewichts­kraft ist und der Mond sich somit von der Erde ent­fernt. Googelt man dana­ch, bestätigt sich das. Schade, so kommt die Glei­chung für Δt=(2⋅(r-rE-rM)⋅F⋅mM-1)½ nun doch nicht zum Ein­satz ...[2]
[0]Nach­trag: Ich hab’s nach­ge­rech­net: Der Masseverlust beim Ver­brennen ist so gut wie nichts. Der Hauptgrund – und das ist mir als Che­mieg­rundkursler natürlich zuerst ent­fal­len – dafür, dass die Asche leich­ter ist als die Koh­le, ist, dass sich der Koh­len­stoff (Hauptbe­stand­teil von Koh­le) beim Ver­brennen (Oxidie­ren) mit Sauer­stoff zu Koh­lendioxid ver­bindet und in die Luft ent­weicht (C + O2 → CO2).
[1]Der Wert für die fotosyn­the­ti­sche Effizi­enz wurde hier ent­nommen. Sie­he auch hier.
[2]Ur­sprüngl­ich hatte ich mich bei F verrech­net und ei­nen positiven Wert herausbekommen. Die Zeit bis zum Zu­sammen­stoß mit dem Mond betrug dann allerdings nur 8 Minu­ten, was mich zuerst ein we­nig beunruhigt hatte ...

Mittwoch, 1. Juli 2015

In Morpheus’ Armen


Deutsch

Schon wie­der ein Mo­nat rum? Zum Glücke noch ge­merkt! Hier kommt das Mo­nats­ge­dicht. Es ist noch aus mei­ner Schul­zeit, mit Phy­sik ha­be ich mitt­ler­wei­le kaum noch et­was am Hu­te. Dafür schla­fe ich aber im­mer noch recht gern mal in un­pas­sen­den Mo­men­ten ein und außer­dem ken­ne ich den einen oder an­de­ren Blo­gle­ser, der Phy­sik stu­diert. ;-)

In Mor­pheus’ Ar­men von Til­ly Dö

Für mich Mon­tag-Mor­gen-Müdchen
Ist Phy­sik so früh am Ta­ge –
Bücher le­sen, For­meln pau­ken –
Ei­ne wah­re Pla­ge.

Eh’ ich mich ver­sah, kam schon
Der Sand­mann, die­ser Wicht
Und streut’ mir ar­mem Op­fer
Die Körner ins Ge­sicht.

Im Wahne aber hatt’ ich
Von Zah­len wohl ge­nug.
Von In­duk­ti­on und Wi­der­stand
Gott Hyp­nos mich von dan­nen trug.

Ins Land der Träume bracht’ er mich,
Wo ich der Phy­sik Ge­set­ze
Mich oh­ne große Wil­lens­kraft,
Spie­lend, wi­der­set­ze.

In Mor­pheus’ Ar­men wiegt’ ich mich
Wie ein klei­nes Kind.
Ich dach­te an die Schul’ zurück,
Wo all die Ka­me­ra­den sind.

Doch das Den­ken war schon bald
Vom Traum mir um­gerühret,
Denn Hyp­nos sandt’ ein’ Suk­ku­bus,
Der mich nach Her­zens­lust verführet.

Er kam in Ju­li­as Ge­stalt
Und leg­te sei­ne Schwin­gen bar.
Und ich ver­narr­ter Ro­meo
Ver­gaß, dass er ein Dämon war.

Das Stun­denklin­geln riss mich weg,
Vom Zähl’n der Wol­ken­scha­fe,
Vom Leh­rer kriegt’ ich ei­ne Sechs,
Auf dass ich nie mehr schla­fe.

Vivimus vel morimur?


Deutsch

Le­ben wir oder ster­ben wir? – Das ist hier die Fra­ge. (Auf La­tei­nisch klingt’s nur bes­ser.^^) Ster­ben ist all­ge­mein hin als aufhören zu le­ben de­fi­niert. Doch die­ses Aufhören ist ja nicht in je­dem Fall ruck­ar­tig, wie bspw. bei ei­nem tödli­chen Kopf­schuss. Nor­ma­ler­wei­se stirbt man am Le­bens­en­de ja über Mo­na­te hin weg. Manch­mal be­fin­det man sich auch in ei­ner Ster­be­pha­se, die aber nicht mit dem Tod be­en­det wird, son­dern mit dem Be­ginn ei­ner neu­en Le­ben­s­pha­se. – Al­so: Was ist Ster­ben? Mei­ne ers­te In­ten­ti­on war, dass der Pro­zess ein­tritt, wenn ei­nem der Tod un­mit­tel­bar vor Au­gen steht und nicht mehr ab­zu­wen­den scheint. Doch das ist natürlich Quatsch: Stel­len wir uns je­man­den vor, der von ei­nem Hoch­haus sprin­gen will. Wann fängt er an zu ster­ben: An der Dach­kan­te, beim Sprung, im frei­en Fall? Nein, da würde man ihn ver­mut­lich stets noch nicht zu den Ster­ben­den zählen, wenn auch zu­min­dest im frei­en Fal­le der Tod ja wohl kaum noch ab­zu­wen­den ist. Außer­dem: Würden wir al­le uns dann nicht seit der Ge­burt an per­ma­nent im Ster­be­pro­zess be­fin­den? Im­mer­hin ist der Tod für nie­man­den ab­wend­bar und wir steu­ern al­le mehr oder we­ni­ger schnell dar­auf zu. Ein wei­te­res Bei­spiel wäre ei­ne Per­son in ei­nem dich­ten Raum, den man mit Was­ser voll­lau­fen lässt: Die Per­son ruft dann viel­leicht: Ich st­er­be hier drin!, aber was sie ei­gent­lich meint, ist wohl eher: Ich wer­de hier drin ster­ben! Be­trach­ten wir nun das Ster­ben als bio­lo­gi­schen Pro­zess: Er setzt ein, wenn die ers­ten le­bens­wich­ti­gen Or­ga­ne aus­fal­len, und en­det mit dem To­de. Der Hoch­haus­sprin­ger stirbt al­so nur für den Bruch­teil ei­ner Se­kun­de: während des Auf­pralls, wo er ir­gend­wann einen Zu­stand er­reicht, der ir­re­pa­ra­bel ist, und schließlich der Hirn­tod ein­tritt. Und viel mehr Ge­dan­ken möchte ich die­ser The­ma­tik ei­gent­lich nicht wid­men ... Nicht­chris­ten dürfen jetzt ger­ne weiter­s­crol­len, denn mir fällt nur noch ein Bi­bel­vers­lein ein, das der ört­li­che Pfar­rer im­mer nach der Ver­stor­be­nen­be­kannt­ga­be sagt:
Le­ben wir, so le­ben wir dem Herrn; ster­ben wir, so ster­ben wir dem Herrn. Dar­um: wir le­ben oder ster­ben, so sind wir des Herrn. – Röm 14,8
Oder auf La­tein, um dem Ti­tel ge­recht zu wer­den:
Si­ve enim vi­ve­mus, Do­mi­no vi­vi­mus : si­ve mo­ri­mur, Do­mi­no mo­ri­mur. Si­ve er­go vi­vi­mus, si­ve mo­ri­mur, Do­mi­ni su­mus. – Rom 14,8
Was im Prin­zip so viel be­deu­tet wie: Mach dir mal kei­nen Kopp zu dem The­ma.