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Montag, 15. August 2016

Paradoxa: B


Deutsch

Wie versprochen geht es heute weiter im Paradoxa-ABC. Ich versuche hier, die Analysen nicht zu verkomplizieren; ob mir das immer glückt, wage ich zu bezweifeln. Trotzdem, vielleicht ist ja für den einen oder die andere – Na, ist das nicht schön gegendert? – was Interessantes dabei.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Ein Barbier sei jemand, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. – Rasiert der Barbier sich selbst?

  • Falls nein: Dann gehört er zu jenen, die sich nicht selbst rasieren, und wird somit vom Barbier, also sich selbst, rasiert. ↯
  • Falls ja: Dann gehört er zu jenen, die sich selbst rasieren, und wird somit nicht vom Barbier, also sich selbst, rasiert. ↯
Beide Aussagen stellen einen Widerspruch dar: Offensichtlich rasiert sich der Barbier selbst gdw. sich der Barbier nicht selbst rasiert.

Analyse

Eine prädikatenlogische Analyse zeigt, dass es keinen Barbier nach obiger Definition geben kann. Zunächst wurde ein Barbier definiert:

Barbier(x)y:(rasiert(x,y)¬rasiert(y,y))
Lies: x ist Barbier gdw. für alle y: x rasiert y gdw. nicht y rasiert y
Außerdem wissen wir, dass es niemanden gibt, der sich gleichzeitig rasieren und nicht rasieren kann:
¬x:(rasiert(x,x)¬rasiert(x,x))
Diese Formel können wir nun umformen:
¬x:(rasiert(x,x)¬rasiert(x,x))
x:¬(rasiert(x,x)¬rasiert(x,x))
x:y:¬(rasiert(x,y)¬rasiert(y,y))
x:¬y:(rasiert(x,y)¬rasiert(y,y))
x:¬Barbier(x)
¬x:Barbier(x)
Legende

∀ … für alle
∃ … existiert
¬ … nicht
⇔ … gdw.

Barbier(x) … x ist Barbier
rasiert(x,y) … x rasiert y
Da aus der im Paradoxon verwendeten Definition für Barbiere folgt, dass es keine Barbiere gibt, kann man das Paradoxon nur auflösen, indem man eine andere Definition wählt. Zum Beispiel: Ein Barbier sei jemand, der – ausgenommen sich selbst – all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Außerdem rasiert er sich selbst.
Das Barbier-Paradoxon ist eine Konkretion des Russell’schen Paradoxons, welches etwas allgemeiner formuliert ist: Sei R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. – Enthält R sich selbst? Analog zum Barbier-Paradoxon kann nachgewiesen werden, dass es keine solche Menge R gibt.

Aussage

  1. Massen ziehen sich durch Gravitationskräfte gegenseitig an.
  2. Auch die Sterne im Weltall ziehen sich gegenseitig an.
  3. Trotzdem fallen die Sterne nicht in einen zentralen Punkt zusammen.
Theoretisch müssten die Sterne im Weltall aufgrund ihrer Gravitation zusammenfallen.

Analyse

Das Paradoxon wurde im 17. Jahrhundert von Richard Bentley formuliert, nachdem Isaac Newton seine Gravitationstheorie veröffentlicht hatte, welche u. a. besagt, dass sich Massen gegenseitig anziehen. Newton selbst erwiderte auf das Paradoxon, dass Gott den Kollaps des Universums verhindern würde, indem er immer wieder minimale Korrekturen an den Sternpositionen durchführe. Für die damalige Zeit mag das eine akzeptable Lösung für das Paradoxon gewesen sein, doch mit dem erweiterten Kenntnisstand über das Universum von heute kann man eine wissenschaftlichere Antwort geben: Es stimmt, dass sich Massen gegenseitig anziehen und die Bewegungen der Himmelskörper durch Gravitationskräfte beeinflusst werden, doch letztlich wird ein Kollaps des Universums durch dessen Ausdehnung verhindert. So entfernen sich weit entfernte Himmelskörper, zwischen denen so gut wie keine Anziehungskräfte wirken, immer weiter voneinander.

Aussage

Man stelle sich einen hungrigen Esel zwischen zwei gleich weit entfernten und absolut identischen Heuhaufen vor. Da sich der Esel nicht entscheiden kann, welchen von beiden er zuerst fressen soll, verhungert er.

Analyse

Das Paradoxon gibt es in verschiedenen Versionen, z. B. auch mit einem Durstigen und zwei Gläsern voll Wasser, einem Wanderer an einer Weggabelung oder einer Ehebrecherin, die sich nicht zwischen ihrem Mann und ihrem unwissenden Liebhaber entscheiden kann. Die grundlegende Frage ist, ob man in der Lage wäre, zwischen zwei völlig oder nahezu identischen Alternativen eine auszuwählen, oder ob man in eine Verklemmung geraten würde, bis eine der Alternativen sich von der anderen unterscheiden lässt oder sich das Problem von selbst löst.
Die programmatische Lösung ist, eine Vorgehensweise für solch einen Fall festzulegen: Nimm immer die erste Alternative! oder Wähle zufällig eine der Alternativen aus! Ein Mensch würde vermutlich versuchen, einen Unterschied zwischen den beiden Alternativen zu finden, und, falls das nicht gelingt, ebenfalls so vorgehen. Eine weitere Option ist es, eine dritte Alternative zu suchen, auch wenn diese schlechter ist als die ersten beiden. So könnte der Wanderer auch einfach den Weg zurücklaufen, den er gekommen ist.


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