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Montag, 19. September 2016

Paradoxa: G


Deutsch

Heute wird es mathematisch; es folgen drei Paradoxa der Königin der Wissenschaften.

Viel Spaß beim Lesen!

Aussage

Zuallererst brauchen wir ein Horn. Dazu zeichnen wir den Graphen der Funktion f(x)=1x mit x ≥ 1. (Wer sich unter f(x) nichts vorstellen kann, kann sich die Funktion hier anschauen, beachte aber, dass wir nur die Werte für x ≥ 1 betrachten.) Was wir jetzt schon sehen, ist, dass sich die Funktion mit wachsenden x-Werten immer weiter 0 annähert, aber nie 0 wird.
Nun lassen wir den Graphen um die x-Achse rotieren. Wir erhalten einen Körper, der aussieht wie ein Horn. (Wer sich (auch) darunter nichts vorstellen kann, kann sich die rotierte Funktion für 1 ≤ x ≤ 10 hier anschauen.) Unser Horn ist nun natürlich ebenfalls unendlich lang, weshalb es auch Gabriels Horn heißt, nach dem Erzengel Gabriel. Denn kein Mensch vermag ein unendlich langes Horn zu benutzen.
Jeder dreidimensionale Körper verfügt über ein Volumen und über einen Flächeninhalt. Für einen durch Rotation entstanden Körper berechnet man diese mit den Formeln

V=π·xminxmax(f(x))2dx und A=2·π·xminxmaxf(x)·1+f'(x)2dx
Woher diese Formeln kommen, ist für uns völlig unwichtig. Wir können mit ihnen aber das Volumen und den Flächeninhalt von Gabriels Horn ausrechnen: V = π ≈ 3,14 und A = ∞. Ganz recht: Das Horn hat ein festes, endliches Volumen, aber einen unendlichen Flächeninhalt.

Das Paradoxon ergibt sich nun bei folgender Frage: Wie viel Farbe bräuchte man, wenn man das Horn lackieren wollte? Einerseits bräuchte man, weil der Flächeninhalt unendlich groß ist – da unser Horn keine Dicke besitzt, entspricht der Flächeninhalt sowohl der Außen- als auch der Innenseitenfläche –, auch unendlich viel Farbe, um die Fläche zu lackieren. Andererseits wäre die Innenseite vollständig mit Farbe bedeckt, wenn man das Horn einfach mit dem berechneten, endlichen Volumen an Farbe befüllen würde.

Analyse

Um das Paradoxon aufzulösen, stellen wir uns vor, was passieren würde, wenn wir Farbe in das Horn gössen: Man könnte vermuten, dass die Farbe aufgrund der unendlichen Länge des Horns immer weiter in jenes hineinliefe. Tatsächlich wird der Durchmesser des Horns aber irgendwann so dünn, dass kein Farbtropfen mehr hindurch passte. Man kann also nur einen endlichen Teil des Horns mit Farbe befüllen.

Anmerkung: Irgendwann wird der Durchmesser des Horns natürlich auch zu gering, als dass ein Luftmolekül hindurch passte. Auch kann man sich (mit einem menschlichen Verstand) nur schwer vorstellen, wie man ein unendlich langes Horn überhaupt halten soll. – Ist schon eines komisches Instrument, dieses Gabriels Horn.

Aussage

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen:

Natürliche Zahlen: {1, 2, 3, 4, ...}
Quadratzahlen: {1, 4, 9, 16, ...}
Folgende Aussagen über das Größenverhältnis der Mengen stehen im Widerspruch zueinander:
  1. Für jede natürliche Zahl gibt es eine Quadratzahl und für jede Quadratzahl gibt es eine natürliche Zahl. Also sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen gleichgroß.
  2. Jede Quadratzahl ist eine natürliche Zahl, aber nicht jede natürliche Zahl ist eine Quadratzahl. Also ist die Menge der natürlichen Zahlen größer als die Menge der Quadratzahlen.
Die beiden Mengen sind also einerseits gleichgroß und andererseits nicht gleichgroß.

Analyse

Ausschlaggebend ist, dass hier zwei unendliche Mengen, d. h. zwei Mengen mit unendlich vielen Zahlen, betrachtet werden. Dem war die Mathematik 17. Jh., zu Galileo Galileis Zeiten, noch nicht gewachsen. Heutzutage hat man den Begriff der Größe durch den Begriff der Mächtigkeit ersetzt: Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, d. h. wenn man jede Zahl aus der einen Menge eindeutig auf eine Zahl der anderen Menge abbilden kann und umgekehrt. Da dies nach 1. der Fall ist, sind die natürlichen Zahlen und die Quadratzahlen gleichmächtig.

Aussage

Wie viele Personen muss man versammeln, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben, gleich 50% ist? – Lediglich 23.

Analyse

Das Paradoxe an der Sache ist die geringe Personenzahl, die von Nöten ist. Dabei kann man sie ganz einfach ausrechnen: Gehen wir zunächst davon aus, dass alle Geburtstage gleichmäßig auf die 366 Tage eines Jahres verteilt sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Leute am gleichen Tag Geburtstag haben, gleich eins minus die Wahrscheinlichkeit, dass alle Leute an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben:P=1-366366·365366·364366··366-(n-1)366=1-366!:(366-n)!366nSetzt man nun P = 50%, dann ergibt sich für n ≈ 22,8. Da man schlecht 22,8 Leute in einem Raum versammeln kann, müssen es schon 23 sein.
Natürlich sind die Geburtstage im Jahr nicht gleichverteilt. Allein am 29. Februar haben deutlich weniger Menschen Geburtstag als an anderen Tagen (schätze ich). Da in Wirklichkeit eine Ungleichverteilung der Geburtstage vorliegt, werden auch weniger als 23 Personen benötigt. Wer das nicht nachvollziehen kann, der kann sich überlegen, wie viele Personen man braucht, um mit 100%iger Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen mit dem gleichen Geburtstag zu erwischen, bei

  1. einer extremen Ungleichverteilung, bei der alle Geburtstage auf einen einzigen Tag im Jahr fallen. (Antwort: 2)
  2. einer Gleichverteilung, bei der sich alle Geburtstage gleichmäßige auf die Tage im Jahr verteilen. (Antwort: 367)
Anders ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau (und nicht mindestens) zwei von n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben:P=366366·(n2)366·365366··366-(n-2)366=(n2)·366!:(367-n)!366nSetzt man n = 23, dann ist P ≈ 36%. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Personen ist natürlich kleiner als für mindestens zwei Personen.

Ich selbst war in einer Schulklasse mit 17 Mann, unter denen es sogar zwei Doppelgeburtstage gibt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist lediglich:P=(172)·(17-22)·366!:(369-17)!366170,06%Und dieses Ergebnis erscheint uns wiederum alles andere als paradox.


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